Enunciado

Uma bola maciça e uniforme rola sem deslizar para cima de uma colina, como indica a Figura 10.61. No topo da colina, ela se move horizontalmente e cai pelo rochedo vertical.

a) A que distância da base do rochedo a bola aterrissa e com que velocidade ela está se movendo assim que cai?

b) Note que, quando a bola aterrissa, ela possui uma velocidade escalar de translação maior do que quando estava na base da colina. Isso significa que de alguma forma a bola ganhou energia? Explique!

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma bola maciça e uniforme rola sem deslizar para cima de uma colina, como indica a figura abaixo.

No topo da colina, ela se move horizontalmente e cai pelo rochedo vertical.

Queremos calcular a distância da base do rochedo onde a bola aterrissa e com que velocidade ela está se movendo assim que cai.

Para isso, devemos usar o princípio de conservação da energia:

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

Onde U é a nergia potencial e K é a energia cinética (os termos com 1 significa que estão no instante inicial e com 2 , o instante final).

O enunciado também nos diz que quando a bola aterrissa, ela possui uma velocidade escalar de translação maior do que quando estava na base da colina.

Queremos saber se isso significa que de alguma forma a bola ganhou energia.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Pela conservação de energia, temos:

m g y 1 + 1 2 m v 1 2 + 1 2 I ω 1 2 = m g y 2 + 1 2 m v 2 2 + 1 2 I ω 2 2

Onde m é a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade, y é a altura, v é a velocidade, I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular.

Como I = 2 5 M R 2 . Então,

m g y 1 + 1 2 m v 1 2 + 1 2 ( 2 5 M R 2 ) ( v R ) 1 2 = m g y 2 + 1 2 m v 2 2 + 1 2 ( 2 5 M R 2 ) ( v R ) 2 2

1 2 m v 1 2 + ( 1 5 M R 2 ) ( v R ) 1 2 = m g y 2 + 1 2 m v 2 2 + ( 1 5 M R 2 ) ( v R ) 2 2

1 2 v 1 2 + ( 1 5 R 2 ) ( v R ) 1 2 = m g y 2 + 1 2 v 2 2 + ( 1 5 R 2 ) ( v R ) 2 2

1 2 v 1 2 + 1 5 v 1 2 = m g y 2 + 1 2 v 2 2 + 1 5 v 2 2

Logo,

v 2 2 = ( 7 10 v 1 2 - g y 2 ) × 7 10

v 2 = 15,26   m / s

Passo 3

Agora, consideramos o movimento vertical. Como v 0 = 0 , substituiremos em

y - y 0 = v 0 t + a 2 t 2

28 = 9,8 2 t 2

t = 2,39   s

Na horizontal, temos

x - x 0 = v x t = 15,26 ⋅ 2,39

x - x 0 = 36,5   m

Analisando, então, a velocidade

v y = v 0 x + a t

v y = 9,8   × 2,39

v y = 23,4   m / s

Logo,

v 2 = v x 2 + v y 2

v = 23,4 2 + ( 15,3 ) 2

v = 28   m / s

Passo 4

Quando a bola aterrissa, ela possui uma velocidade escalar de translação maior do que quando estava na base da colina.

Isso se deve ao fato de que a energia cinética total é a mesma. No entanto, a energia cinética translacional aumentou e a rotacional diminuiu.

Resposta

a)   x = 36,5   m e v = 28   m / s ;

b) a energia cinética translacional aumentou e a rotacional diminuiu.

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