Enunciado

Uma bomba de 75   k g é arremessada a 125   m / s segundo um ângulo de 55 ° acima da horizontal. A resistência do ar é desprezível. No ponto mais alto da trajetória, a bomba explode e se divide em dois fragmentos, um dos quais de massa quatro vezes maior que a do outro. O fragmento mais pesado aterrissa diretamente abaixo do ponto da explosão. Se a explosão exerce força apenas na direção horizontal, a que distância do ponto de lançamento aterrissa o fragmento mais leve?

Passo 1

Esse também é daqueles problemas divertidos e que você pode dividir em sistemas diferentes. O primeiro sistema é olhando somente para o lançamento oblíquo da bomba até o ponto mais alto da trajetória.

Nossa intenção aqui é descobrir a distância horizontal x percorrida nesse lançamento e para isso precisamos da velocidade inicial vertical da bomba e que será de:

v 0 y = 125 ⋅ sen ⁡ 55 = 102.39   m / s

Enquanto a velocidade inicial horizontal é de:

v 0 x = v x = 125 cos ⁡ 55 = 71.7   m / s

E essa velocidade horizontal se manterá constante durante toda a trajetória.

Então precisaremos do tempo que a bomba percorre essa trajetória e pra isso precisamos de h

A distância h percorrida pela bomba é encontrada pela equação de Torricelli na sua altura máxima (onde a velocidade vertical é zero) e que será de:

v f 2 = v 0 2 + 2 a h

0 = 102.39 2 - 2 ⋅ 9.81 ⋅ h

Pois a aceleração da bomba será igual a gravidade que faz com que a velocidade vertical caia.

h = 534.38   m

Então o tempo percorrido será achado por:

h = v 0 y t + 1 2 a t 2

Então teremos a equação do segundo grau:

- 9.81 2 t 2 + 102.39 t - 534.38 = 0

O que nos dá t = 10.44   s , outra forma de se calcular seria por v f = v 0 - g t .

Portanto a distância horizontal x percorrida pela bomba nesse lançamento será de:

x = v x t = 71.7 ⋅ 10.44 = 748.52   m

Passo 2

Aí a bomba explode

B O O M

Deixando o sistema depois da explosão da seguinte forma:

Onde a massa total da bomba é de 5 m e a velocidade inicial da bomba mais pesada é nula, uma vez que não há momento linear no eixo vertical no instante em que a bomba explode (já que a velocidade vertical no ponto mais alto da trajetória é nulo).

Então a velocidade horizontal da massa menor será de:

5 m ⋅ 71.7 = m ⋅ v f x

v f x = 5 ⋅ 71.7 = 358.5   m / s

Dessa forma o tempo de queda da massa m continua sendo de 10.44   s (uma vez que a distância h não se altera e a velocidade vertical ainda continua sendo nula). Logo a distância horizontal x 1 percorrida pelo fragmento será de:

x 1 = 358.5 ⋅ 10.44 = 3742.74   m

Então a distância horizontal total Δ x será de:

Δ x = x + x 1 = 748.52   m + 3742.74 = 4.49   k m

Resposta

4.49   k m

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