Enunciado

O cabo do elevador de 1800   k g da Fig. 8-54 se rompe quando o elevador está parado no primeiro andar, onde o piso se encontra a uma distância d   =   3,7   m acima de uma mola de constante elástica k   =   0 ,   15   M N / m . Um dispositivo de segurança prende o elevador aos trilhos laterais, de modo que uma força de atrito constante de 4,4   k N passa a se opor ao movimento. (a) Determine a velocidade do elevador no momento em que se choca com a mola. (b) Determine a máxima redução x do comprimento da mola (a força de atrito continua a agir enquanto a mola está sendo comprimida). (c) Determine a distância que o elevador sobe de volta no poço. (d ) Usando a lei de conservação da energia, determine a distância total aproximada que o elevador percorre antes de parar. (Suponha que a força de atrito sobre o elevador seja desprezível quando o elevador está parado.)

Figura 8-54 Problema 63.

Passo 1

a) A lei da conservação de energia pode ser escrita da seguinte forma

W = ∆ E m e c + ∆ E T

Como W = 0

∆ E m e c + ∆ E T = 0

E ∆ E m e c = ∆ K + ∆ U

∆ K + ∆ U + ∆ E T = 0

No instante inicial, o elevador está parado ( K = 0 ). Tomando como referência da energia potencial gravitacional a parte superior da mola, temos U 2 = 0 e U 1 = m g d

K 2 - m g d + ∆ E T = 0

Com ∆ E T = f k d

K 2 - m g d + f k d = 0

1 2 m v 2 = m g d - f k d

v =   2 d m m g - f k

Para d = 3,7   m , m = 1800   k g , g = 9,8   m / s 2 e f k = 4400   N

v =   2.3,7 1800 1800.9,8 - 4400

v ≈ 7,4   m / s

Passo 2

b) Aplicando a lei de conservação de energia no instante que o elevador encosta na mola e quando a mola é comprimida de x metros, temos

∆ E m e c + ∆ E T = 0

Quando o elevador encosta na mola, há apenas energia cinética e no instante que a mola é comprimida, temos energia potencial gravitacional e potencial elástica e parte dessa energia inicial é dissipada pelo atrito, logo

K 1 = U g , 2 + U e , 2 + f k x

1 2 m v 2 = m g - x + 1 2 k x 2 + f k x

1 2 k x 2 + f k - m g x - 1 2 m v 2 = 0

Temos uma equação do 2° grau em função de x , logo

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Com a = k / 2 , b = f k - m g e c = - m v 2 / 2 . Para k = 0,15.10 6   N / m

a = 7,5.10 4 ,   b = - 13240   e   c = - 49284

Substituindo os valores em x

x = - - 13240 ± - 13240 2 - 4.7,5.10 4 . - 49284 2.7,5.10 4

x = 0,9   m   ( r a i z   p o s i t i v a )

Passo 3

c) Adotando como referência da energia potencial o ponto mais baixo atingido pelo elevador, temos pela lei da conservação de energia.

U e , 1 = U g , 2 + ∆ E T

1 2 k x 2 = m g h + f k h

m g + f k h = k x 2 2

h = k x 2 2 m g + f k

h = 0,15.10 6 . 0,9 2 2 1800.9,8 + 4400

h ≈ 2,8   m

Passo 4

d) Na posição final, as forças agindo sobre o elevador entram em equilíbrio

P = F e → m g = k x

x = m g k = 1800.9,8 0,15.10 6

x ≈ 0,12   m

A energia dissipada pelo atrito é que determina a distância total percorrida pelo elevador, logo

∆ E T = f k d t

Onde d t é a distância total.

Usando o ponto final de equilíbrio como referência para a energia potencial gravitacional e aplicando a lei de conservação da energia

U g = U e + ∆ E T

m g d + x = 1 2 k x 2 + f k d t

f k d t = m g d + x - k x 2 2

d t = m g d + x - k x 2 2 f k

d t = 1800.9,8 3,7 + 0,12 - 0,15.10 6 0,12 2 2 4400

d t ≈ 15,0   m

Resposta

a) v ≈ 7,4   m / s

b) x = 0,9   m

c) h ≈ 2,8   m

d) d t ≈ 15,0   m

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