Enunciado

Uma caixa da CD escorrega em um piso no sentido positivo de um eixo x enquanto uma força aplicada F → a age sobre a caixa. A força está orientada ao longo do eixo x e a componente x é dada por F a x = 9 x - 3 x 2 , com x em metros e F a x em newtons. A caixa parte do repouso na posição x = 0 e se move até ficar novamente em repouso. (a) Plote o trabalho realizado por F → a sobre a caixa em função de x . (b) Em que posição o trabalho é máximo e (c) qual é o valor deste máximo trabalho? (d) Em que posição o trabalho se torna nulo? (e) Em que posição a caixa fica novamente em repouso?

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Primeiro, devemos lembrar que como esta força não é constante, devemos calcular o trabalho realizado por ela usando a seguinte expressão:
  2. W = ∫ F x d x

    O enunciado forneceu F a x = 9 x - 3 x 2 . Portanto, a nossa expressão de trabalho será:

    W = ∫ 9 x - 3 x 2 d x = 9 x 2 2 - x 3

    Assim, plotando o gráfico com o auxílio de uma ferramenta online:

    Passo 2

  3. Para achar em que posição o trabalho é máximo, vamos relembrar um conceito de calculo.
  4. Lembra que para encontrar o ponto de máximo (ou mínimo),nós derivamos a função e igualamos a zero? Então é exatamente isso que vamos fazer:

    F a x = 9 x - 3 x 2

    F a x ' = 9 x - 3 x 2

    F ' a x = x 9 - 3 x

    Igualando a zero,

    x 9 - 3 x = 0

    Portanto, nosso ponto crítico diferente de zero é:

    x m á x = 3   m

    A gente pode confirmar, olhando o valor retirado no gráfico.

    Passo 3

  5. Para determinar o valor do trabalho, podemos substituir o valor de x m á x encontrado no passo anterior na expressão do trabalho:
  6. W m á x = 9 × 3 2 2 - 3 3 = 13,5   J

    Passo 4

  7. Para determinar a posição para que o trabalho seja nulo, podemos olhar para o gráfico ou igualar a função do trabalho a zero:
  8. 9 x 2 2 - x 3 = 0

    Colocando x 2 em evidência:

    x 2 4,5 - x = 0

    Portanto, a posição onde o trabalho é nulo após a partida é:

    x n u l o = 4,5   m

    Passo 5

  9. Por fim, para determinar quando o corpo volta ao repouso, devemos nos lembrar do teorema trabalho-energia cinética que diz:

∆ K = K f - K 0 = W t o t a l

Como inicialmente a caixa estava em repouso:

K f = W t o t a l

m v 2 2 = W t o t a l

A velocidade será nula quando o trabalho for nulo e sabemos que isso ocorre em x n u l o = 4,5   m .

Resposta

  1. x m á x = 3   m ;
  2. W m á x = 13,5   J ;
  3. x n u l o = 4,5   m ;
  4. x n u l o = 4,5   m .
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