Enunciado

Uma caixa possui dois compartimentos separados por uma divisória. O lado esquerdo da caixa contém 500 moléculas do gas nitrogênio; o lado direito contém 100 moléculas do gas oxigênio. Os dois gases estão à mesma temperatura. A divisória e perfurada, e o equilíbrio é atingido. Suponha que o volume da caixa seja suficientemente grande para que cada gas sofra uma expansão livre mantendo sua temperatura constante. a) Em média, quantas moléculas de cada gas estarão em cada metade da caixa? b) Qual é a variação de entropia do sistema depois que a divisória foi perfurada? c) Qual seria a probabilidade de encontrar as moléculas com a mesma distribuição existente antes de a divisória ser perfurada, ou seja, 500 moléculas de nitrogênio do lado esquerdo e 100 moléculas de oxigênio do lado direito?

Passo 1

Depois que a caixa é furada, a média de probabilidade é metade das moléculas de cada gás estar ocupando cada lado do volume total, ou seja, 50 moléculas de gás oxigênio e 250 moléculas de gás nitrogênio.

Passo 2

b) Como antes cada molécula possui w 1 microestados possíveis, elas passarão a possuir o dobro de estados depois do furo, e o número de estados microscópicos cresce em 2 N , sendo N o número de moléculas. A variação de entropia então é:

∆ S = k ln ⁡ w 2 w 1

w 2 = 2 N w 1

∆ S = k ln ⁡ 2 N w 1 w 1

∆ S = N k ln ⁡ 2

Como tem dois gases diferentes, a variação de entropia total é a soma da variação de entropia de cada expansão livre:

∆ S t o t a l = N 1 k ln ⁡ 2 + N 2 k ln ⁡ 2 = ( N 1 + N 2 ) k ln ⁡ 2

Substituindo os valores:

∆ S t o t a l = 600 1,381 × 10 - 23   J / K ln ⁡ 2

∆ S t o t a l = 5,74 × 10 - 21   J / K

Passo 3

c) A probabilidade de cada molécula ser encontrada do lado certo da caixa é de 1 / 2 , para o caso de 500 de um lado e 100   da outra fazemos:

1 2 500 × 1 2 100 = 1 2 600 = 2,4 × 10 - 181

Resposta

b   ∆ S t o t a l = 5,74 × 10 - 21   J / K

c   2,4 × 10 - 181

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

30. Um frasco contém uma mistura dos gases neônio ( N e ) , criptônio ( K r ) e radônio ( R n ) . Compare a ) as energias cinéticas desses três tipos de átomos e b ) as velocidades quadráticas médias.
41. a ) Qual é o calor necessário para fazer a temperatura de 2,50m o l s de um gás ideal diatômico aumentar de 30K nas vizinhanças de temperatura ambiente se o gás for mantido com um volume constante
39. Em que temperatura a velocidade quadrática média das moléculas de nitrogênio é igual à velocidade quadrática média das moléculas de hidrogênio a 20° C ?(Sugestão: A tabela periódica do Apêndice D
40. As partículas de fumaça existentes no ar costumam ter massas de ordem de 10 - 16k g . O movimento browniano (um movimento rápido e irregular) dessas partículas que decorre de colisões com molécula
46. Para um gás de moléculas de nitrogênio ( N 2 ) , qual deve ser a temperatura se 94,7 % de todas as moléculas possuem velocidades moleculares menores que a )1500m / s ; b )1000m / s ; c )500m / s ?