Enunciado

Quando calculamos uma rapidez de escape, usualmente o fazemos na suposição de que o corpo lançado está isolado. Isto é, obviamente, geralmente incorreto no sistema solar. Mostre que a rapidez de escape em um ponto próximo de um sistema consistindo de dois corpos massivos, estacionários e esféricos, é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores de rapidez de escape para cada um dos corpos considerados individualmente.

Passo 1

Vamos lá, uma coisa por vez. O sistema que o problema descreve tem dois corpos massivos de massas M 1 e M 2 , respectivamente, e um corpo de massa m localizado no ponto P que estamos analisando nesse sistema. O sistema é o seguinte:

A questão quer que provemos que a velocidade de escape total será dada por:

v e = v e 1 2 + v e 2 2

Lembre-se que a velocidade de escape em um sistema com um corpo massivo é:

v e = 2 G M r

Passo 2

Vamos usar as expressões de energia cinética e potencial para resolver o nosso problema. Ficamos então com o seguinte para a energia total E do sistema:

E = K + U 1 + U 2

E = 1 2 m v 2 - G M 1 m r 1 - G M 2 m r 2

Passo 3

Quando o objeto escapa de ambas as órbitas, sua energia total será zero e ele terá a velocidade de escape. Colocando isso na nossa equação acima:

1 2 m v e 2 - G M 1 m r 1 - G M 2 m r 2 = 0

v e 2 = 2 G M 1 r 1 + 2 G M 2 r 2

E repare que cada um desses termos no lado direito da equação é o quadrado da velocida de escape que definimos lá em cima! Então vamos ficar com:

v e 2 = v e 1 2 + v e 2 2

Ou seja:

v e = v e 1 2 + v e 2 2

Que é exatamente o que queríamos provar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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