Enunciado

Um corpo é largado, a partir do repouso, de uma altura de 4,0   × 10 6   m acima da superfície da Terra. Se não existe resistência do ar, qual é sua rapidez ao atingir a Terra?

Passo 1

Cara, a gente quer a velocidade final desse corpo.

Vamos começar determinando o referencial para energia potencial igual a 0 no infinito. Assim, e considerando a Terra como uma esfera maciça, podemos usar

U r = - G M m r

Como a energia potencial de um corpo distante r do centro da Terra. Sendo M a massa da Terra, m é a massa do corpo e G   a constante de gravitação universal.

Daí podemos usar a conservação de energia pra solucionar o problema associando as duas energias: a energia inicial (o corpo parado em repouso) e a energia final de quando o corpo atinge a Terra.

K i + U i = K f + U f

K f - K i + U f - U i = 0

Vamos ver como fica!

Passo 2

Como o objeto cai do repouso, a velocidade inicial dele é nula, então:

K i = 0

O ponto inicial é o ponto onde ele está no repouso e o ponto final é a superfície da Terra. Seja o raio da Terra R e a altura acima da superfície da Terra h de onde o corpo é largado. A distância entre a posição inicial do corpo e o centro da Terra vai ser

r = h + R

E então, para esse ponto, a energia potencial inicial é

U r = G M m r

U i = - G M m R + h

Já a energia potencial para o final, quando o corpo está na superfície da Terra, e temos r = R é

U f = - G M m R

A energia cinética do corpo no ponto final vai ser

K f = m v 2 2

Passo 3

Agora podemos substituir cada uma das energias na equação da conservação e ficamos com:

K f - K i + U f - U i = 0

1 2 m v 2 - G M m R + G M m R + h = 0

Lembrando que M é a massa da Terra e m é a massa do corpo.

Agora é só isolar v e teremos nossa resposta! Isolando o v :

1 2 v 2 - G M R + G M R + h = 0

v = 2 G M R - G M R + h

O raio da Terra é achado no apêndice B e vale 6 , 37 ∙ 10 6 m , h foi dado no enunciado, G vale 6,67 × 10 - 11   N ⋅ m 2 / k g 2 e a massa da Terra é dada no apêndice B e vale 5,97 × 10 24 k g .

Agora é só substituir os valores e correr pro abraço!

v = 2 6,67 × 10 - 11 × 5,97 × 10 24 6 , 37 ∙ 10 6 - 6,67 × 10 - 11 × 5,97 × 10 24 6 , 37 ∙ 10 6 +   4,0   × 10 6 = 6.9   k m / s  

Resposta

v = 6.9   k m / s

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