Enunciado

(a) Calcule o expoente adiabático γ = C P / C V para um gás diatômico a uma temperatura elevada, tal que uma fração x das moléculas se encontram dissociadas em átomos. Verifique que o resultado se reduz aos casos limites esperados quanto não há dissociação ou quando ela é total. (b) Se o valor observado é γ = 1,5 , qual é a porcentagem de dissociação x ?

Passo 1

Vamos começar pensando em uma estratégia para calcular esse expoente γ :

γ = C P C v

A gente sabe que existe uma relação entre as duas capacidades térmicas:

C p = C v + R

Então:

γ = C v + R C v

Beleza, então uma forma de encontrar γ é calculando C v . Mas como fazer isso a partir da fração x de moléculas dissociadas?

Podemos olhar para a energia interna! A fórmula é a seguinte:

U = C v T

Onde C v é a capacidade térmica que queremos calcular.

Passo 2

Ok, mas o que a energia interna tem a ver com a fração x ? Bom, quando algumas moléculas se separam, vamos ficar com um conjunto de moléculas diatômicas e um de monoatômicas.

Podemos somar as energia internas de cada um desses conjuntos pra encontrar a energia interna total:

U = U d i a t ô m i c a s + U m o n o

No caso das moléculas diatômicas, a energia interna vai seguir essa fórmula aqui:

U d i = 5 2 R T

E no caso das monoatômicas:

U m o n o = 3 2 R T

Mas ainda falta considerar que temos quantidades diferentes de cada uma delas.

Passo 3

Vamos supor que a gente tenha um mol de moléculas diatômicas inicialmente.

Cada molécula diatômica se separa para formar duas monoatômicas. Então se uma fração x desse nosso 1   m o l se separar, vamos ter 2 x moles de moléculas monoatômicas!

E o que sobrou de diatômicas? É simplesmente 1 - x   m o l :

Beleza, agora dá pra calcular qual é a fração de moléculas diatômicas e de monoatômicas no nosso gás:

η m o n o = n m o n o n t o t = 2 x 1 + x

η d i   = n d i n t o t = 1 - x 1 + x

Passo 4

Agora é só considerar essas frações no nosso cálculo da energia interna:

U = η d i U d i + η m o n o U m o n o

U = 5 2 R T 1 - x 1 + x + 3 2 R T 2 x 1 + x

U = R T 5 1 - x 2 1 + x + 6 x 2 1 + x

Vamos somar essas duas frações pra simplificar um pouco:

U = R T 5 - 5 x + 6 x 2 1 + x

U = 1 2 R T x + 5 x + 1

E então, usando a fórmula que escrevemos lá em cima para a energia interna:

U = C v T

1 2 R T x + 5 x + 1 = C v T

Podemos dividir os dois lados por T :

C v = 1 2 x + 5 x + 1 R

Passo 5

E agora, finalmente, vamos usar a fórmula que escrevemos para o γ :

γ = C v + R C v

Pra evitar confusão, começamos calculando esse numerador:

C v + R = 1 2 x + 5 x + 1 R + R

C v + R = 1 2 x + 5 x + 1 R + 2 x + 1 2 x + 1 R

C v + R = x + 5 + 2 x + 2 2 x + 1 R

C v + R = 3 x + 7 2 x + 1 R

Agora sim, vamos substituir na fórmula do γ :

γ = C v + R C v

γ = 3 x + 7 2 x + 1 R x + 5 2 x + 1 R

γ = 3 x + 7 x + 5

Pronto!

Passo 6

Conforme o enunciado pediu, vamos testar os casos limite!

Se x = 0 , então nenhum molécula se separou, e o gás é totalmente diatômico, e nesse caso o certo seria γ = 7 / 5 :

γ = 3 0 + 7 0 + 5 = 7 5

Ok, até aqui tudo certo. E quando x = 1 , deveríamos ter um gás totalmente monoatômicao, e nesse caso o certo seria γ = 5 / 3 :

γ = 3 1 + 7 1 + 5 = 10 6 = 5 3

Também está certo!

Passo 7

(b) E por último, se o fator gama observado é γ = 1,5 , qual é o valor de x ?

γ = 1,5 = 3 2

Então:

γ = 3 2 = 3 x + 7 x + 5

3 x + 5 = 2 3 x + 7

3 x + 15 = 6 x + 14

3 x = 1

x = 1 3

Isso quer dizer que aproximadamente 33,3 % das moléculas se separaram.

Resposta

(a) O expoente é dado por γ = 3 x + 7 x + 5 .

(b) Aproximadamente 33,3 % das moléculas se separaram.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O calorímetro de fluxo é um dispositivo usado para medir o calor específico dos líquidos. O líquido que passa pelo calorímetro, com uma vazão conhecida, recebe energia, na forma de calor, a uma taxa c
Um cubo de 6,0.10 - 6m de aresta e emissividade0,75 , à temperatura de - 100 ° C , flutua no espaço sideral onde a temperatura é - 150 ° C . Qual é a taxa líquida de transferência da radiação térmica
O calorímetro de fluxo é um dispositivo usado para medir o calor específico dos líquidos. O líquido que passa pelo calorímetro, com uma vazão conhecida, recebe energia, na forma de calor, a uma taxa c
Um liquido é agitado irregularmente em um recipiente bem isolado e, portanto, sua temperatura aumenta. Considere i liquido o sistema. a) Ocorre transferência de calor? Como você pode garantir? b) Exis
Você fecha o bico de uma bomba de pneu de bicicleta e aperta o êmbolo rapidamente, de modo que o ar lá dentro seja comprimido à metade do volume original. Suponha que o ar se comprote como um gás idea