Enunciado

Os campos eletricos de duas ondas harmonicas eletromagneticas de frequencias angulares a e w,sao dados por E;=E:o cos(k,x-of)j e por E:=Ea cos(k,x-wt+8)j.Para a resultante destas duas ondas,determine(a)o vetor de Poynting instantineo e(b)a media temporal do vetor de Poynting.(c)Repita as Partes(a)e(b)se o sentido de propagagao da segunda onda for invertido,ou seja,E:=Esy cos(k:x+w,t+8)j.

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha daqui desse jeito.

Podemos usar a definição do vetor de Poynting e a relação entre B e E para encontrar os vetores de Poynting instantâneos para cada um dos movimentos de onda resultantes e o fato de que a média de tempo do termo do produto vetorial é zero para um ω 1 ≠ ω 2 , e ½ para o quadrado do cosseno, função para encontrar os vetores de Poynting com média temporal.

Passo 2

Letra a:

Já que ambas as ondas se propagam na direção +x

E → × B → = μ 0 S i ⇒ B → = B k ^

Expresso B em termos de E 1 e E 2 :

B = 1 c E 1 + E 2

Substitua por E 1 e E 2 para obter:

B → ( x , t ) = 1 c E 1,0 c o s ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 c o s ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ k ^

O vetor de Poynting instantâneo para o movimento de onda resultante é dado por:

S → ( x , t ) = 1 μ 0 E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 cos ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ j ^ × 1 c E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 cos ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ k ^ = 1 μ 0 c E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 cos ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ 2 ( j ^ × k ^ ) = 1 μ 0 c E 1,0 2 cos 2 ⁡ k 1 x - ω 1 t + 2 E 1,0 E 2,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t × c o s ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ + F 2,0 2 c o s 2 ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ i ^

Passo 3

Letra b:

A média de tempo do termo do produto vetorial é zero para ω 1 ≠ ω 2 , e a média temporal do quadrado dos termos do cosseno é ½ :

S → a v = 1 2 μ 0 c E 1,0 2 + E 2,0 2 i ^

Passo 4

Letra c:

Neste caso B 2 = - B ^ k porque a onda com k = k 2 se propaga na direção - i. O campo magnético é então:

B → ( x , t ) = 1 c E 1,0 c o s ⁡ k 1 x - ω 1 t - E 2,0 c o s ⁡ k 2 x + ω 2 t + δ k ^

O vetor de Poynting instantâneo para o movimento de onda resultante é dado por:

S → ( x , t ) = 1 μ 0 E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 cos ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ j ^ × 1 c E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t - E 2,0 cos ⁡ k 2 x + ω 2 t + δ k ^ = 1 μ 0 c E 1,0 2 c o s 2 ⁡ k 1 x - ω 1 t - E 2,0 2 c o s 2 ⁡ k 2 x + ω 2 t + δ i ^

A média de tempo do quadrado dos termos do cosseno é ½ :

S → a v = 1 2 μ 0 c E 1,0 2 - E 2,0 2 i ^

Resposta

  1. = 1 μ 0 c E 1,0 2 cos 2 ⁡ k 1 x - ω 1 t + 2 E 1,0 E 2,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t × c o s ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ + F 2,0 2 c o s 2 ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ i ^
  2. S → a v = 1 2 μ 0 c E 1,0 2 + E 2,0 2 i ^
  3. S → a v = 1 2 μ 0 c E 1,0 2 - E 2,0 2 i ^
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em uma onda de rádio plana, o valor máximo do campo elétrico é 5,00V / m . Calcule (a) o valor máximo do campo magnético, (b) a intensidade da onda
Um condutor cilíndrico com seção reta circular de raio a e resistividade r conduz uma corrente constante I. (a) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor em um ponto imediatamente abaixo da s
Nos Estados Unidos, a energia elétrica residencial é fornecida em uma frequência de 60 Hz, de modo que há interesse particular na radiação eletromagnética nessa frequência. Com base nas orientações da
Uma espira de fio circular tem um raio de 7,50 cm. Uma onda no plano eletromagnético senoidal trafegando no ar passa pela espira, com a direção do campo magnético da onda perpendicular ao plano da esp
A ICNIRP também possui orientações para a exposição do campo magnético para o público em geral. Na faixa de frequência de 25 Hz a 3 kHz, essa orientação afirma que a amplitude máxima permitida é 5/f T