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Os campos eletricos de duas ondas harmonicas eletromagneticas de frequencias angulares a e w,sao dados por E;=E:o cos(k,x-of)j e por E:=Ea cos(k,x-wt+8)j.Para a resultante destas duas ondas,determine(a)o vetor de Poynting instantineo e(b)a media temporal do vetor de Poynting.(c)Repita as Partes(a)e(b)se o sentido de propagagao da segunda onda for invertido,ou seja,E:=Esy cos(k:x+w,t+8)j.

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha daqui desse jeito.

Podemos usar a definição do vetor de Poynting e a relação entre B e E para encontrar os vetores de Poynting instantâneos para cada um dos movimentos de onda resultantes e o fato de que a média de tempo do termo do produto vetorial é zero para um ω 1 ≠ ω 2 , e ½ para o quadrado do cosseno, função para encontrar os vetores de Poynting com média temporal.

Passo 2

Letra a:

Já que ambas as ondas se propagam na direção +x

E → × B → = μ 0 S i ⇒ B → = B k ^

Expresso B em termos de E 1 e E 2 :

B = 1 c E 1 + E 2

Substitua por E 1 e E 2 para obter:

B → ( x , t ) = 1 c E 1,0 c o s ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 c o s ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ k ^

O vetor de Poynting instantâneo para o movimento de onda resultante é dado por:

S → ( x , t ) = 1 μ 0 E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 cos ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ j ^ × 1 c E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 cos ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ k ^ = 1 μ 0 c E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 cos ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ 2 ( j ^ × k ^ ) = 1 μ 0 c E 1,0 2 cos 2 ⁡ k 1 x - ω 1 t + 2 E 1,0 E 2,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t × c o s ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ + F 2,0 2 c o s 2 ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ i ^

Passo 3

Letra b:

A média de tempo do termo do produto vetorial é zero para ω 1 ≠ ω 2 , e a média temporal do quadrado dos termos do cosseno é ½ :

S → a v = 1 2 μ 0 c E 1,0 2 + E 2,0 2 i ^

Passo 4

Letra c:

Neste caso B 2 = - B ^ k porque a onda com k = k 2 se propaga na direção - i. O campo magnético é então:

B → ( x , t ) = 1 c E 1,0 c o s ⁡ k 1 x - ω 1 t - E 2,0 c o s ⁡ k 2 x + ω 2 t + δ k ^

O vetor de Poynting instantâneo para o movimento de onda resultante é dado por:

S → ( x , t ) = 1 μ 0 E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t + E 2,0 cos ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ j ^ × 1 c E 1,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t - E 2,0 cos ⁡ k 2 x + ω 2 t + δ k ^ = 1 μ 0 c E 1,0 2 c o s 2 ⁡ k 1 x - ω 1 t - E 2,0 2 c o s 2 ⁡ k 2 x + ω 2 t + δ i ^

A média de tempo do quadrado dos termos do cosseno é ½ :

S → a v = 1 2 μ 0 c E 1,0 2 - E 2,0 2 i ^

Resposta

  1. = 1 μ 0 c E 1,0 2 cos 2 ⁡ k 1 x - ω 1 t + 2 E 1,0 E 2,0 cos ⁡ k 1 x - ω 1 t × c o s ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ + F 2,0 2 c o s 2 ⁡ k 2 x - ω 2 t + δ i ^
  2. S → a v = 1 2 μ 0 c E 1,0 2 + E 2,0 2 i ^
  3. S → a v = 1 2 μ 0 c E 1,0 2 - E 2,0 2 i ^

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