Enunciado

Uma carga de densidade linear uniforme 2,0   n C / m está distribuída ao longo de uma barra longa, fina, isolante. A barra está envolvida por uma casca longa, cilíndrica, coaxial, condutora (raio interno: 5,0   c m ; raio externo: 10   c m ). A carga da casca é zero. (a) Determine o módulo do campo elétrico a 15   c m de distância do eixo da casca. (b) Determine a densidade superficial de carga na superfície interna e (c) na superfície externa da casca.

Passo 1

Bora lá galera, tudo bom?

Vamos juntos resolver mais um exercício!

Usando o conceito de campo elétrico de uma superfície cilíndrica gaussiana, podemos obter o valor do campo elétrico líquido na casca, onde usaremos:

E =   λ 2 π ε 0 r                                             ( 1 )

Agora, usando a fórmula de densidade de carga superficial do cilindro, podemos obter o valor de carga necessário nas superfícies interna e externa da casca. Para isso vamos aplicar a relação:

λ 2 π R =   σ                             ( 2 )

O campo está sendo medido fora do sistema (a haste carregada coaxial com o cilindro neutro) de modo que a carga líquida encerrada seja apenas aquela que está na haste. Assim, o campo elétrico líquido na casca cilíndrica é dado usando a equação (1) da seguinte forma

E =   λ 2 π ε 0 r

Substituindo os valores:

E =   2   .   2   x   10 - 9 4 .   3,14   .   0,15   .   8,85 x   10 - 12

E =     2,4   x   10 2     N / C

Tranquilo?

Passo 2

Como o campo é zero dentro do condutor (em uma configuração eletrostática), então reside na superfície interna carga, e na superfície externa, carga (onde q é a carga na haste no centro).

Agora, a carga na superfície interna da casca é dada usando a equação ( 2 ) como:

λ 2 π R =   σ                             ( 2 )

Substituindo os valores:

- 2   x   10 - 9 2 .   3,14   .   0,05 =   σ

σ   =   - 6,4   x   10 - 9     C / m ²

Passo 3

Cálculo da densidade de carga superficial da superfície externa

Com r 0 =   0,10   m , a densidade de carga da superfície externa é dada usando a equação ( 2 ) da seguinte forma:

Agora, a carga na superfície interna da casca é dada usando a equação ( 2 ) como:

λ 2 π R =   σ                             ( 2 )

Substituindo os valores:

2   x   10 - 9 2 .   3,14   .   0,1 =   σ

σ   =   3,2   x   10 - 9     C / m ²

Prontinho!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

a) E =     2,4   x   10 2     N / C

b) σ   =   - 6,4   x   10 - 9     C / m ²

c) σ   =   3,2   x   10 - 9     C / m ²

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