Enunciado

Uma casca esférica não condutora de raio interno R 1 e raio externo R 2 tem densidade volumétrica uniforme de carga ρ . (a) Determine a carga total na casca. (b) Determine expressões para o campo elétrico em todas as regiões.

Passo 1

Fala ai galera. Essa questão está pedindo para a gente determinar o campo elétrico em todas as regiões em uma esfera não condutora. Para isso, vamos usar a lei de Gauss tomando como superfície gaussiana uma esfera, beleza?

Passo 2

  1. Como a densidade é constante, podemos simplesmente calcular a carga fazendo o produto da densidade vezes o volume da esfera.
  2. O volume da esfera é:

    V = 4 3 π R 2 3 - R 1 3

    Assim, temos que

    q = ρ V = 4 3 π ρ R 2 3 - R 1 3

    Passo 3

  3. Vamos dividir em várias regiões. Temos que:
  • Para r < R 1 :
  • Nesse caso, q i n t = 0 . Assim,

    ∮ E   d A = q i n t ε 0 = 0 ∴ E = 0

  • Para R 1 < r < R 2 , temos
  • q i n t = ρ ⋅ V ' q i n t = 4 3 π ρ r 3 - R 1 3

    Assim, segue que

    ∮ E   d A = q i n t ε 0 E 4 π r 2 = 4 3 π ρ r 3 - R 1 3 ε 0 E = ρ r 3 - R 1 3 3 ε 0 r 2

  • Para r > R 2
  • Temos que

    q i n t = q

    Dessa forma,

    ∮ E   d A = q ε 0 E 4 π r 2 = 4 3 π ρ R 2 3 - R 1 3 ε 0 E = π ρ R 2 3 - R 1 3 3 ε 0 r 2

    Resposta

  1. 4 3 π ρ R 2 3 - R 1 3
  • Para r < R 1 , E = 0 ;
  • Para R 1 < r < R 2 , E = ρ r 3 - R 1 3 3 ε 0 r 2
  • Para r > R 2 , E = π ρ R 2 3 - R 1 3 3 ε 0 r 2
  • Resposta

    Ei, a resposta está no passo a passo :)

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