Enunciado

Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio a . Calcule a força com que atua sobre uma carga de sinal oposto - q colocada no centro.

Passo 1

Vamos começar considerando a informação de que a carga Q está distribuída uniformemente sobre todo o arco. Sendo assim, se pegarmos um pedacinho inifinitesimal dessa barra teremos uma carga d q em um pedaço d l . Tipo nessa figura abaixo.

Passo 2

A densidade linear de carga é

λ = d q d l

onde o comprimento infinitesimal é

d l = a   d θ   .

Portanto

d q = λ   a   d θ     .

Passo 3

Sabendo que a força provocada pelo pedaço infinitesimal pode ser escrita como

d F → = 1 4 π ϵ 0 - q ( d q ) r 2   r ^

Passo 4

Da figura podemos decompor o vetor   r → nas coordenasdas x e y . Obtendo que

r → = a   c o s θ   i ^ + a   s e n θ   j ^       .

Usando a simetria em relação ao eixo y podemos perceber que a força resultante do lado direito na direção x irá se anular com sua correspondente do lado esquerdo. Sendo assim teremos força apenas na direção y .

Passo 5

Podemos reescrever a força infinitesimal subistituindo d q   e anulando o termo das forças na direção x

d F → = - q 4 π ϵ 0 λ   a   d θ a 2 a   s e n θ   j ^ a = - q   λ   s e n θ   d θ 4   π ϵ 0   a   j ^

Passo 6

Para achar a força que todo o fio faz é necessário integrar a força provocada pela carga infinitesimal para todo o arco.

Levando em consideração que θ varia de 0 a π . Temos

F → = ∫ 0 π - q   λ   s e n θ   d θ 4   π ϵ 0   a = - q   λ   4   π ϵ 0   a   ∫ 0 π s e n θ   d θ   j ^

Agora só precisamos resolver a integral

∫ 0 π s e n θ   d θ = cos ⁡ π - cos ⁡ 0 = - 1 - 1 = - 2

Lembrando o valor encontrado e lembrando que

λ = Q π a

Temos

F → =   - q   Q   4   π ϵ 0   a   π   a   - 2 j ^ =   q   Q   2 π 2   ϵ 0   a 2 j ^

Resposta

F → =   q   Q   2 π 2   ϵ 0   a 2 j ^

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