Enunciado

Um carro viajando com velocidade constante passa pela origem no tempo t = 0 . Nesse instante, um caminhão, em repouso na origem, começa a acelerar uniformemente a partir do repouso. A figura 2-34 mostra um gráfico qualitativo das velocidades do caminhão e do carro como funções do tempo. Compare os deslocamentos (a partir da origem), velocidades e acelerações no instante em que as curvas se intersectam.

Passo 1

O que ele quer é que a gente ache uma relação entre o deslocamento, velocidade e aceleração desses veículos no instante em que as duas retas se cruzam.

Podemos começar relacionando o deslocamento do carro com o deslocamento do caminhão. Como podemos analisá-los em um gráfico da velocidade em função do tempo? Nesse tipo de gráfico, o deslocamento é a área abaixo da reta (ou curva) que descreve o movimento.

Vamos achar uma expressão para o deslocamente do carro. Sendo v 1 sua velocidade final e t 1 o instante onde seu gráfico se intercepta com o do carro.

A área abaixo da reta que representa o movimento do carro de t = 0 até o tempo t 1 (reta pontilhada) é a área de um retângulo,

que vale

Δ x c a r r o = b a s e × a l t u r a = v 1 × t 1

Esse é o deslocamento do carro. Já o deslocamento do caminhão é a área abaixo da reta inclinada.

Essa área é um triângulo que vale

Δ x C a m i n h ã o = b a s e × a l t u r a 2 = t 1 × v 1 2

Passo 2

Lembra que queremos a relação entre essas duas grandezas? Uma forma de conseguir isso é a dividindo essas expressões que a gente achou, uma pela outra

Δ x c a r r o = v 1 × t 1

Δ x C a m i n h ã o = t 1 × v 1 2

Dividindo e simplificando

Δ x C a r r o Δ x C a m i n h ã o = v 1 × t 1 v 1 × t 1 2 = 1 1 2

Δ x C a r r o Δ x C a m i n h ã o = 2

Δ x C a r r o = 2 Δ x C a m i n h ã o  

Ou seja, o deslocamento do carro é o dobro do deslocamento do caminhão.

Passo 3

Agora vamos pensar nas velocidades. Essa é a mais fácil, afinal o gráfico do enunciado representa justamente a velocidade em função do tempo.

No instante em que os dois gráficos se cruzam, estamos no mesmo ponto para as duas curvas, certo? Então para as duas vale que t = t 1 e v = v 1

Logo, a velocidade dos dois veículos é a mesma.

Passo 4

E por fim vamos pensar na aceleração. Quando olhamos para um gráfico da velocidade em função do tempo, a aceleração é a inclinação da reta tangente a esse gráfico. Em outras palavras, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

a = d v d t

Então para achar informações sobre a aceleração dos nossos veículos, vamos analisar a inclinação das retas que descrevem seu movimento.

Como o gráfico da velocidade do carro é uma linha reta horizontal

a c a r r o = 0

Porque seu gráfico fica a todo momento sem inclinação alguma.

Já a do caminhão, por ser uma reta inclinada, tem uma inclinação constante e diferente de zero, assim tem uma aceleração constante e diferente de zero.

Essa aceleração é positiva porque a reta representa sempre um valor crescente de velocidade comforme o tempo passa.

A gente só não tem dado para descobrir o valor da aceleração, tudo bem?

Resposta

No instante em que as duas curvas se intersectam, o deslocamento total do carro é o dobro do deslocamento do caminhão, a velocidade de ambos é a mesma, e a aceleração do caminhão é maior que a do carro.

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