Enunciado

Se uma carta caísse em um túnel que atravessasse toda a Terra, passando pelo centro, qual seria a velocidade da carta ao passar pelo centro?

Passo 1

Quando a carta vai atravessando a Terra, a aceleração da gravidade não é constante, então temos que ter muito cuidado.

A carta entra no túnel como velocidade inicial nula, e chega ao centro com uma velocidade v f que queremos descobrir.

Passo 2

Vamos começar vendo como a aceleração da gravidada fica quando “entramos” na Terra. (Supondo que ela seja maciça e homogênea pra facilitar):

Pela fórmula para o volume da esfera, podemos escrever a massa específica assim:

ρ = M T 4 3 π R T 3 ⇒ ρ = 3 4 M T π R T 3

Vamos substituir tudo isso na fórmula para a g

a g = G M r 2 = G r 2 4 3 π r 3 ρ = G r 2 4 3 π r 3 3 4 M T π R T 3

Organizando isso:

a g = G M T R T 3 r

Mas a aceleração da gravidade na superfície da Terra é:

g = G M R T 2

Então:

a g = G M T R T 3 r = g . r R T

Essa fórmula só vale quando estamos “dentro” da esfera (ou seja, r ≤ R T ) .

Passo 3

Agora vamos usar essa fórmula para achar a força gravitacional em função do raio r . Sabemos que:

F g = m . a g

Substituindo pela fórmula logo acima:

F g = m g . r R T = m g R t r

Beleza, agora vamos lembrar que nosso objetivo é achar a velocidade da carta quando chega ao centro da Terra. Pra isso, vamos usar o teorema Trabalho-Energia.

Ele diz que o trabalho realizado é igual à variação de energia cinética, ou seja:

W = ∫ F d r = Δ K

Passo 4

Começando pela integral do trabalho:

W = ∫ F d r = ∫ m g R T r d r

Vamos integrar de R T até 0 .

W = ∫ R T 0 m g R T r d r = m g R T ∫ R T 0 r d r = m g R T . R T 2 2

W = m g R T . R T 2 2 = m g R T 2

Passo 5

Agora vamos achar Δ K :

Δ K = m 2 v f 2 - v 0 2

Como v 0 = 0

Δ K = m 2 v f 2

Agora a igualdade fica:

W = Δ K

m g R T 2 = m 2 v f 2

E isolando a velocidade:

v f = g R T

v f = ( 9,8 ) ( 6,37.10 6 ) = 7,9.10 3   m / s

Pronto!

Resposta

A velocidade da carta ao passar pelo centro seria v f = 7,9.10 3   m / s .

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