Enunciado

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A Fig. 13-41 mostra, fora de escala, um corte transversal da Terra. O interior da Terra pode ser dividido em três regiões: a crosta, o manto e o núcleo. A figura mostra as dimensões das três regiões e as respectivas massas. A Terra tem uma massa total de 5,98 × 10 24 k g e um raio de 6370 km. Despreze a rotação da Terra e suponha que ela é esférica. (a) Calcule a g na superfície. (b) Suponha que seja feita uma perfuração até a interface da crosta com o manto, a uma profundidade de 25,0 km: qual é o valor de a g no fundo da perfuração? (c) Suponha que a Terra fosse uma esfera homogênea com a mesma massa total e o mesmo volume. Qual seria o valor de a g a uma profundidade de 25,0 km? (Medidas precisas de a g ajudam a revelar a estrutura interna da Terra, embora os resultados possam ser mascarados por variações locais da distribuição de massa.)

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha bonita.

Pra começar respondendo este problema, ele pede o valor da aceleração da gravidade na superfície. Pra isso, basta a gente saber toda a massa da Terra e o seu raio. Então fica assim

a g = G M R 2 = 6,67 × 10 - 11 m 3 / k g s 5,98 × 10 24 k g 6,37 × 10 6 m 2 = 9,83 m / s 2

Que é um valor que todo mundo já tá cansado de ver.

Passo 2

Agora, pra achar a gravidade à uma profundidade de 25 km a partir da superfície da Terra, basta a gente pegar a massa do manto M m e do núcleo M n , e usar o raio da Terra menos 25 km, ou seja, o raio do manto R m . Então

a g = G M n + M m R m 2 = 9,84 m / s 2

Passo 3

Assumindo que a massa da Terra M T estivesse uniformemente distribuída, a gente tem que a massa M em um raio R = 6,45 × 10 6 m seria

M = R 3 R T M T = 6,345 × 10 6 m 3 6,37 × 10 6 m 3 5,98 × 10 24 k g = 5,91 × 10 24 k g

Pra calcular a aceleração da gravidade agora fica mole.

a g = G M R 2 = 6,67 × 10 - 11 m 3 / s 2 k g 5,91 × 10 24 k g 6,345 × 10 6 m 2 = 9,79 m / s 2

Resposta

(a) a g = 9,83 m / s 2

(b) a g = 9,84 m / s 2

(c) a g = 9,79 m / s 2

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