Enunciado

Uma casca esférica de paredes finas com massa m e raio r parte do repouso e rola sem deslizar para baixo da trilha indicada na Figura 10.68. O diâmetro da casca é muito pequeno, se comparado com h 0 e R, e o atrito de rolamento é desprezível.

a) Qual é a altura mínima h 0 para que a casca esférica complete uma volta na parte circular da trajetória?

b) Com que intensidade a trilha empurra a casca no ponto B, que está no mesmo nível do centro da circunferência?

c) Suponha que a trilha possui atrito desprezível e que a casca foi libertada da mesma altura h 0 calculada no item (a). Nesse caso ela completaria uma volta? Como você sabe?

d) No item (c), com que intensidade a trilha empurra a casca no ponto A, o topo da circunferência? Com que intensidade ela empurrou a casca no item (a)?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma casca esférica de paredes finas com massa m e raio r parte do repouso e rola sem deslizar para baixo conforme a figura:

Queremos encontrar a altura mínima h 0 para que a casca esférica complete uma volta na parte circular da trajetória.

Também queremos calcular a intensidade que a trilha empurra a casca no ponto B, que está no mesmo nível do centro da circunferência.

Também queremos saber se completaria uma volta supondo que a trilha possui atrito desprezível e que a casca foi libertada da mesma altura h 0 .

Por fim, queremos saber a intensidade que a trilha empurra a casca no ponto A.

Para resolver todas essas questõezinhas, iremos utilizar o princípio da conservação de energia!! 😉

Passo 2

Aplicamos a conservação de energia para encontrar sua velocidade linear v nos pontos A e B.

No ponto A, temos que, pela Segunda Lei de Newton:

∑ F = m a

Onde F é força, m é a massa e a é a aceleração.

As forças envolvidas no ponto são a normal e a peso.

À medida que a concha rola ao longo da pista, ela tem energia cinética de translação e rotação, por isso apresenta uma aceleração que é a r a d = v 2 R .

n + m g = m v 2 R

Onde n é a normal, g é a aceleração da gravidade e R é o raio.

A velocidade mínima para a casca não cair da faixa é quando a normal tende a zero, logo,

0 + m g = m v 2 R

g = v 2 R

v 2 = g R

Passo 3

No ponto A, y 2 = 2 R e v 2 2 = g R .

Sabendo que as energias potencial e cinética iniciais são iguais as energias potencial e cinética finais, temos:

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

Substituindo os valores, temos:

m g y 1 + 0 = m g y 2 + 1 2 m v 2

m g h 0 = m g 2 R + 1 2 m v 2

Passo 4

Como K 1 = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2 e o momento de inércia é I = 2 3 m r 2 , então

K 1 = 1 2 m v 2 + 1 2 ( 2 3 m r 2 ) ( v R ) 2

K 1 = 1 2 m v 2 + 2 3 m r 2 v 2 R 2

K 1 = 1 2 m v 2 + 2 3 m v 2

K 1 = 5 6 m v 2

Substituindo...

m g h 0 = m g 2 R + 5 6 m g R

h 0 = 2 + 5 6 R = 17 6 R

Passo 5

No ponto B, y 2 = R , então

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

m g y 1 = m g y 2 + 1 2 m v 2

m g h 0 = m g R + 5 6 m v 2 2

Sendo h 0 = 17 6 R ,

17 6 g R = g R + 5 6 v 2 2

17 6 g R - g R = 5 6 v 2 2

v 2 2 = 11 5 g R

Sendo,

n + m g = m v 2 R

n = m v 2 R = 11 5 m g

Passo 6

Supondo que a trilha possui atrito desprezível e que a casca foi libertada da mesma altura h 0 calculada no item (a). Nesse caso ela completaria uma volta? Analisamos a energia cinética

K = 1 2 m v 2 = 5 6 m v 2

A concha estaria se movendo mais rápido em A do que com o atrito e ainda faria o loop completo.

Passo 7

Respondendo o item (d), com que intensidade a trilha empurra a casca no ponto A, o topo da circunferência? (para a letra c)

m g h 0 = m g 2 R + 1 2 m v 2

A altura seria,

h 0 = 17 6 R

Com,

v 2 2 = 5 3 g R

No ponto A, temos

n + m g = m v 2 R

n = m ( v 2 R - g )

Para a letra (a), n   =   0 , pois neste momento a gravidade fornece a força líquida descendente que é necessário para o movimento circular.

Resposta

a) h 0 = 2 + 5 6 R = 17 6 R

b) n = m v 2 R = 11 5 m g

c) Analisamos a energia cinética K = 1 2 m v 2 = 5 6 m v 2 . A concha estaria se movendo mais rápido em A do que com o atrito e ainda faria o loop completo.

d) Na letra (c) temos, n = m ( v 2 R - g ) ; Na letra (a), n   =   0 .

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