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10.3E Um cilindro rola em uma rampa de inclinação θ = 30 ° . A) Calcule a aceleração angular do cilindro B) Calcule a força de atrito da rampa sobre o cilindro.

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, pra calcular a aceleração angular do nosso cilindro, vamos supor que ele tenha um raio R , uma massa M e um momento de inércia I , dessa maneira, como o cilindro está rolando pela rampa, o somatório das forças que atuam sobre o corpo geram uma força resultante:

F → p e s o sen ⁡ θ - F → a t r i t o = M a

M g sen ⁡ θ - F → a t r i t o = M a

Mas essa força de atrito é a responsável por gerar o torque τ que faz o cilindro rolar, tal que:

τ = R × F → a t r i t o

E torque também pode ser expresso como:

τ = I α

Onde α é aceleração angular sendo relacionado com a aceleração linear através da relação a = α R , então igualando os torques, descobrimos que a força de atrito é:

R × F → a t r i t o = I α

F → a t r i t o = I α R

Logo nosso somatório das forças se torna:

M g sen ⁡ θ - I α R = M a

E fazendo a substituição a = α R , podemos isolar a aceleração angular de forma que:

M g sen ⁡ θ - I α R = M α R

g sen ⁡ θ = α R + I α M R

α = g sen ⁡ θ R + I M R

Iradoso, então se a gente substistituir os valores que conhecemos de sen ⁡ θ = sen ⁡ 30 = 1 / 2 . E lembrando que o momento de inércia do cilindro é I = M R 2 / 2 , teremos que:

α = g 1 2   R + M R 2 / 2 M R

α = g 1 2   R + R 2

α = g 3 R

Passo 2

Sabemos que a força de atrito é a força responsável por fazer o nosso cilindro rola, dessa maneira o torque τ que a força de atrito exerce é o responsável direto por toda aceleração angular que o corpo possui, tal que:

τ = I α

E também:

τ = R × F → a t

Logo igualando as expressões, temos que:

R × F → a t = I α

F → a t = I α R

Então substituindo nossos valores, descobrimos que:

F → a t = M R 2 2 g 3 R R

F → a t = M g R 2 6 R 2

Portanto:

F → a t = M g 6

Resposta

  1. α = g 3 R
  2. F → a t = M g 6

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