Enunciado

Uma fonte sonora se move ao longo de um eixo x , entre os detectores A e B . O comprimento de onda do som detectado por A é 0,5 do comprimento do som detectado por B . Qual é a razão v F / v entre a velocidade da fonte e a velocidade do som?

Passo 1

Vamos admitir que a fonte se desloque no sentido de A para B conforme o esquema abaixo:

A frequência detectada tanto por A , quanto por B está defasada por conta do efeito Doppler. Vamos determinar primeiro as frequências por eles detectadas.

Para o detector A :

A fonte está se afastanto do observador, logo a velocidade v F tem sinal positivo. Como o detector A está em repouso, a velocidade do observador v o A é nulo. Pela fórmula do efeito Doppler temos:

f o A = f F v ± v o v ± v F = f F v v + v F

E, sabendo que tanto para o detector A , quanto para o B a frequência emitida pela fonte é a mesma, já vou deixar isolado f F para poder fazer a comparação nos próximos passos.

Assim temos:

f o A v + v F v = f F

Passo 2

Do ponto de vista do detector B , a fonte está de aproximando, então o sinal da velocidade v F é negativo. O observador B está em repouso, então v o B = 0 . A frequência detectada em B é:

f o B = f F v v - v F = f F v v - v F

Assim podemos isolar a frequência da fonte:

f o B v - v F v = f F

Passo 3

Agora vamos usar o fato de que a frequência emitida pela fonte é a mesma para os dois detectores, então:

f o B v - v F v = f o A v + v F v

E sabendo que v = λ f , então temos:

v - v F λ B = v + v F λ A

E também que λ A = 0,5 λ B , podemos simplificar a expressão acima:

v - v F λ B = v + v F 0,5 λ B

0,5 v - v F = v + v F

0,5 v - v = v F + 0,5 v F

- 0,5 v = 1,5 v F

v F v = 0,5 1,5 = 0,333

Resposta

0,33

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