Enunciado

Duas ondas,

y 1 = 2,50 m m s e n [ 25,1 r a d m x - ( 440 r a d / s ) t ]

y 2 = 1 , 50 m m s e n [ 25,1 r a d m x + ( 440 r a d / s ) t ]

Propagam-se em uma corda esticada. (a) Plote a onda resultante em função de t para x = 0 , λ / 8 , λ / 4 ,   3 λ / 8 e λ / 2 , onde λ é o comprimento de onda. Os gráficos devem se estender de t = 0 até pouco mais de um período. (b) A onda resultante é a superposição de uma onda estacionária e uma onda progressiva. Em que sentido se propaga a onda progressiva? (c)Como devem ser mudadas as ondas originais para que a onda resultante seja uma superposição de uma onda estacionária e uma progressiva com as mesmas amplitudes que antes, mas com a onda progressiva se propagando no sentido oposto? Use os gráficos do item (a) para determinar o local em que a amplitude das oscilações é (d)máxima e (e)mínima. (f)Qual é a relação entre a amplitude máxima das oscilações e as amplitudes das duas ondas originais? (g)Qual é a relação entre a amplitude mínima das oscilações e as amplitudes das duas ondas originais?

Passo 1

(a)Vamos olhar para as equações das ondas apresentadas no enunciado. O número que multiplica x é igual ao número de onda k , que vale 25,1 r a d m . Daí a gente já consegue calcular uma informação importante: λ = 2 π k = 2 π 25,1 m ≅ 250,3   m m . Outra coisa que a gente consegue “garimpar” do enunciado é o valor de ω = 440   r a d   s - 1 , já que esse é o valor que multiplica t nas equações das ondas. Daí, a gente tira que T = 2 π ω ≅ 14,3   m s .

Passo 2

Tá! Agora, vamos “graficar” a onda resultante da superposição de y 1 e y 2 . Como elas têm amplitudes diferentes, não vamos aqui somar as equações e transformar produto em soma. O que vamos fazer aqui é analisar os gráficos de cada uma delas nos pontos x indicados e superpô-los:

1)Em x = 0 : y 1 = 2,50 m m s e n [ - ( 440 r a d / s ) t ] e y 2 = 1,50 m m s e n [ ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 1 = 2,50 m m s e n [ - ( ω ) t ]

Gráfico de y 2 = 1,50 m m s e n [ ( ω ) t ]

Superposição dos gráficos:

Gráfico de y 1 + y 2

2)Em x = λ 8 : y 1 = 2,50 m m s e n [ λ / 4 - ( 440 r a d / s ) t ] e y 2 = 1,50 m m s e n [ λ 4 + ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 1 = 2,50 m m s e n [ π / 4 - ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 2 = 1 , 50 m m s e n [ π 4 + ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y r e s = y 1 + y 2

3)Em x = λ 4 : y 1 = 2,50 m m s e n [ π / 2 - ( 440 r a d / s ) t ] e y 2 = 1,50 m m s e n [ π 2 + ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 1 = 2,50 m m s e n [ π / 2 - ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 2 = 1 , 50 m m s e n [ π 2 + ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 1 + y 2

4)Em x = 3 λ 8 : y 1 = 2,50 m m s e n [ 3 π / 4 - ( 440 r a d / s ) t ] e y 2 = 1,50 m m s e n [ 3 π 4 + ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 1 = 2,50 m m s e n [ 3 π / 4 - ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 2 = 1 , 50 m m s e n [ 3 π 4   + ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 1 + y 2

5)Em x = λ 2 : y 1 = 2,50 m m s e n [ π - ( 440 r a d / s ) t ] e y 2 = 1,50 m m s e n [ π + ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 1 = 2,50 m m s e n [ π - ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 2 = 1 , 50 m m s e n [ π   + ( 440 r a d / s ) t ]

Gráfico de y 1 + y 2

Passo 3

(b) A questão nos pergunta o seguinte:

“Será que a onda resultante (obtida do somatório das duas y 1 e y 2 ) é uma onda viajante? Se sim, ela move-se em que sentido?”

Perceba que, já respondemos esse tipo de questão antes, mas, no caso, as duas ondas que se superpuseram possuíam amplitudes iguais.

E agora, José?

Não se assuste! Vamos, aqui, usar uma “malandragem” matemática:

Vamos pegar a equação de y 1 e dizer que essa onda é igual à superposição de duas outras, de amplitude 1,50   m m e 1,00   mm:

y 1 = 1,50 m m s e n 25,1 r a d m x - 440 r a d s t + 1,00 m m s e n [ 25,1 r a d m x - ( 440 r a d / s ) t ]

Considere, agora, que:

1,50 m m s e n 25,1 r a d m x - 440 r a d s t = y a

1,00 m m s e n [ 25,1 r a d m x - ( 440 r a d / s ) t ] = y b

Nesse caso, temos que y r e s = y 1 + y 2 = ( y a + y 2 ) + y b .

Olha aí! y a e   y 2 possuem a mesma amplitude! Vamos superpo-las então:

y a + y 2 = 1,50 m m s e n 25,1 r a d m x - 440 r a d s t + 1,50 m m s e n [ 25,1 r a d m x + ( 440 r a d / s ) t ]

y a + y 2 = 2 × 1,50 m m s e n 25,1 r a d m x cos ⁡ 440 r a d s t

Repare que y a + y 2 é uma onda estacionária e, como tal, ela não “viaja”, pois não transporta energia na direção transversal. Então, a única parcela da onda resultante responsável por esse transporte é a onda progressiva y b = 1,00 m m s e n [ 25,1 r a d m x - ( 440 r a d / s ) t ] . Como essa onda possui um sinal negativo multiplicando o ω = 440   r a d / s , podemos concluir que a onda resultante propaga-se no sentido positivo do eixo x .

Passo 4

(c)Um método interessante para se conseguir ao final uma onda progressiva que se propaga no sentido oposto (sentido negativo do eixo x ) seria alternar as amplitudes das ondas y 1 e y 2 . Note que, quando fazemos isso, a onda progressiva final será 1,00 m m s e n [ 25,1 r a d m x + ( 440 r a d / s ) t ] , que possui um sinal positivo na frente do ω e que, portanto, move-se no sentido negativo de x .

Passo 5

(d)Analisando os nossos gráficos do item (a), a gente consegue perceber que a maior amplitude é igual a y m a x = 4,0   m m . Ela ocorre em x = λ 4 ≅ 62,6   m m

Passo 6

(e)Novamente, vamos olhar para os gráficos da letra (a). Podemos ver que a menor amplitude alcançada neles é igual a y m i n = 1,0 m m . Ela é alcançada em x = 0   m m e x = λ 2 = 125   m m

Passo 7

(f)Como a onda resultante é obtida da soma das duas outras ( y 1 e y 2 )   , podemos perceber que sua amplitude máxima é igual à soma das amplitudes máximas das outras duas:

y r e s , m a x = y 1 , m a x + y 2 , m a x = 2,5 m m + ( 1,5 m m )

Passo 8

(g)Semelhante ao que comentamos no passo anterior, a menor amplitude da onda resultante é igual a

y r e s , m i n = y 1 , m i n - y 2 , m i n = 2,5 m m - ( 1,5 m m )

Resposta

(a) + x

(d)   x = λ 4 ≅ 62,6   m m

(e)     x = 0   m m   e   x = λ 2 = 125   m m

(f) y r e s , m a x = y 1 , m a x + y 2 , m a x = 2,5 m m + ( 1,5 m m )

(g) y r e s , m i n = y 1 , m i n - y 2 , m i n = 2,5 m m - ( 1,5 m m )

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