Enunciado

O ciclo da Fig. P.7. é formado por isotermas de temperaturas T 1 (BC), T 3 ( D E ) e T 2 (FA), e pelas adiabáticas A B , C D e E F . As taxas de expansão isotérmicas V C / V B e V E / V D , são ambas iguais a r . Calcule o rendimento do ciclo e mostre que é menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperatuas extremas:

Passo 1

(a) O enunciado já adiantou que as curvas A B , C D e E F são adiabáticas, então não tem nenhuma forma de calor nesses trechos.

Ok, se queremos pensar sobre o calor, fica sobrando então B C , D E e F A .

Em B C e D E , o sistema realiza trabalho sem variar a temperatura, isso quer dizer que o calor é absorvido:

B C   e   D E           ⇒             C a l o r   é   a b s o r v i d o

Em F A , o trabalho é realizado sobre o sistema sem variar a temperatura, isso quer dizer que o gás está cedendo calor:

F A         ⇒           C a l o r   é   c e d i d o

Então a gente pode calcular o rendimento assim:

η = 1 + Q F A Q B C + Q D E

Passo 2

Todos esses três trechos são isotérmicos. Então, pela primeira lei da termodinâmica:

Q = W

E então é só usar a fórmula do trabalho no caminho isotérmico:

Q B C = W B C = n R T 1 ln ⁡ V C V B = n R T 1 ln ⁡ r

Já que V C / V B = r .

Q D E = W D E = n R T 3 ln ⁡ V E V D = n R T 3 ln ⁡ r

E o calor no processo F A também seria bem simples:

Q F A = W F A = n R T 2 ln ⁡ V A V F

O problema é que a gente ainda não sabe a razão entre os volumes V A e V F . E é isso que nós vamos descobrir agora.

Passo 3

Nos trechos adiabáticos, A B , E F e C D , dá pra aplicar essa fórmula aqui:

T V γ - 1 = c o n s t a n t e

Vamos aplicar isso nos três trechos adiabáticos pra fazer um sistema de três equações:

T A V A γ - 1 = T B V B γ - 1 T F V F γ - 1 = T E V E γ - 1 T C V C γ - 1 = T D V D γ - 1

Se você der uma olhada no gráfico, já consegue achar algumas variáveis pra substituir nesse sistema:

T 2 V A γ - 1 = T 1 V 1 γ - 1 T 2 V F γ - 1 = T 3 r V 2 γ - 1 T 1 r V 1 γ - 1 = T 3 V 2 γ - 1

E a ideia é resolver esse sistema pra encontrar V A / V F .

Dividindo a primeira equação pela segunda:

T 2 V A γ - 1 T 2 V F γ - 1 = T 1 V 1 γ - 1 T 3 r V 2 γ - 1

V A V F γ - 1 = T 1 T 3   r - γ - 1   V 1 V 2 γ - 1  

E pela terceira equação, dá pra escrever o seguinte:

T 1 r V 1 γ - 1 = T 3 V 2 γ - 1

V 1 V 2 γ - 1 = T 3 T 1 r 1 - γ

Substituindo isso na expressão de antes:

V A V F γ - 1 = T 3 T 1   r - γ - 1   V 1 V 2 γ - 1  

V A V F γ - 1 = T 1 T 3   r 1 - γ T 3 T 1 r 1 - γ  

V A V F γ - 1 =   r - 2 γ - 1  

Elevando os dois lados a 1 / ( γ - 1 ) :

V A V F =   r - 2  

Beleza, conseguimos a razão que a gente queria. Agora dá pra calcular o calor no processo F A :

Q F A = n R T 2 ln ⁡ V A V F

Q F A = n R T 2 ln ⁡ r - 2 = - 2 n R T 2 ln ⁡ r

Passo 4

Agora vamos voltar na fórmula lá do passo 1 :

η = 1 + Q F A Q B C + Q D E

E substituir tudo que já calculamos:

η = 1 + - 2 n R T 2 ln ⁡ r n R T 1 ln ⁡ r + n R T 3 ln ⁡ r

η = 1 + - 2 n R T 2 ln ⁡ r T 1 + T 3 n R ln ⁡ r

E dá pra cortar bastante coisa nessa fração:

η = 1 - 2 T 2 T 1 + T 3

Pronto, chegamos na fórmula para o rendimento.

Passo 5

Se tivéssemos um ciclo de Carnot operando entre as temperaturas extremas, o rendimento seria:

η C = 1 - T 2 T 1

E o que nós calculamos é:

η = 1 - 2 T 2 T 1 + T 3 = 1 - T 2 T 1 + T 3 2

Ou seja, trocamos T 1 pela média das temperaturas T 1 e T 3 no denominador:

T 1 + T 3 2 < T 1

E quanto maior for o termo no denominador, menor é a fração e maior é o rendimento.

Ou seja:

η C > η

Resposta

(a) O rendimento é η = 1 - 2 T 2 T 1 + T 3

(b) Demonstração.

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