Enunciado

Um gás ideal com γ = 5 / 3 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume aumenta de 50 % , seguida de uma contração isobárica até o volume inicial e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial. (a) Calcule o rendimento deste ciclo. (b) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas externas.

Passo 1

Vamos começar fazendo um diagrama ( P , V ) do processo descrito no enunciado:

Para calcular o rendimento desse ciclo, precisamos calcular o trabalho total e o calor absorvido pelo gás:

η = W Q

E para encontrar essas duas grandezas, precisamos determinar a temperatura T C e a pressão P 1 .

Começamos comparando os pontos A e B , que têm a mesma temperatura:

P A V A T A = P B V B T B         ⇒           P A V A = P B V B

E como P A = P 0 e P B = P 1 :

P 1 = V 0 1,5 V 0 P 0 = 2 3 P 0

E podemos comparar os pontos A e C , que têm o mesmo volume, para encontrar a temperatura T C :

P A V A T A = P C V C T C

T C = P C P A T A

E como T A = T 0 , P C = P 1 e P A = P 0 , temos:

T C = 2 3 P 0 P 0 T 0 = 2 3 T 0

Agora vamos substituir isso tudo no gráfico:

Passo 2

Agora sim, podemos calcular o trabalho realizado nesse processo.

Vamos tentar escrever tudo em função de V 0 e T 0 . Começando pelo processo A B , que é isotérmico:

W A B = n R T 0 ln ⁡ 1,5   V 0 V 0 = n R T 0 ln ⁡ 1,5

No processo B C , que é isobárico, temos:

W B C = 2 3 P 0 Δ V = 2 3 P 0 V 0 - 1,5 V 0 = - 1 3 P 0 V 0

E pela lei dos gases ideais temos P 0 V 0 = n R T 0 :

W B C = - 1 3 n R T 0

E no processo C A , que é isovolumétrico, temos W C A = 0 .

Então o trabalho em um ciclo completo é:

W = n R T 0 ln ⁡ 1,5 - 1 3 n R T 0

Passo 3

Agora vamos calcular o calor total fornecido para o gás.

No trecho A B , que é isotérmico, temos:

Δ T A B = 0         ⇒             Δ U A B = 0

Então, pela primeira lei da termodinâmica:

Δ U A B = Q A B - W A B         ⇒         Q A B = W A B

Q A B = n R T 0 ln ⁡ 1,5

No trecho B C , o gás está indo para uma temperatura mais baixa, portanto nenhum calor é fornecido para ele.

No trecho C A , podemos calcular o calor através da variação de energia interna, já que W C A = 0 :

Δ U C A = Q C A - W C A

Q C A = Δ U C A

Q C A = n C v T 0 - 2 3 T 0 = n 3 2 R 1 3 T 0

Q C A = 1 2 n R T 0

E então o calor total é:

Q = 1 2 n R T 0 + n R T 0 ln ⁡ 1,5

Agora podemos calcular a eficiência:

η = W Q = n R T 0 ln ⁡ 1,5 - 1 3 n R T 0 1 2 n R T 0 + n R T 0 ln ⁡ 1,5

η = ln ⁡ 1,5 - 1 / 3 1 / 2 + l n ⁡ ( 1,5 ) = 0,080

η = 8,0   %

Passo 4

(b) Agora queremos calcular qual seria o rendimento de um ciclo de Carnot que operasse entre essas duas temperaturas.

Nosso reservatório frio está a temperatura T 2 = 2 3 T 0 , e o reservatório quente está a T 1 = T 0 . Então o rendimento de um ciclo de Carnot seria:

η = 1 - T 2 T 1

η = 1 - 2 3 T 0 T 0 = 1 - 2 3

η = 1 3 ≈ 33,3 %

Resposta

(a) η = 8,0   % .

(b) η = 33,3   % .

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