Enunciado

Uma lente esférica plano-convexa delgada é formada por um meio onde o som se propaga com velocidade v 2 , limitado por uma face plana e outra esférica de raio de curvatura R ; o raio h = I ' A - da face placa (figura) é suposto ≪ R . No meio externo à lente, o som se propaga com velocidade v 1 , com v 2 = v 1 / n , onde n é o índice de refração relativo. Supomos n > 1 . Nestas condições, uma onda plana incidente perpendicularmente sobre a face place é focalizada pela lente em seu foco F . A distância f = O F - do foco à face curva chama-se distância focal, e A O - = e é a espessura da lente. (a) Mostre que para h ≪ R tem-se e ≈ h 2 / ( 2 R ) . Para isso, você poderá utilizar a aproximação: 1 ± ε ≈ 1 ± 1 2 ε , válida para ε ≪ 1 . (b) Com o auxílio do Princípio de Huygens, mostre que f = R / ( n - 1 ) . Sugestão: Partindo da frente de onda plana incidente II’ (Figura). Iguale o tempo que as frentes de onda secundárias levam para convergir no foco passando pela periferia da lente (caminhos I ' F - , I F - ) e pelo centro (caminho A O - + O F - ) e use o resultado da parte (a).

Passo 1

(a) Esse primeiro item parece muito complicado, mas na verdade só precisamos de um pouco de geometria plana:

Pelo teorema de pitágoras:

R - e 2 + h 2 = R 2

R - e = R 2 - h 2

e = R - R 1 - h 2 R 2

E agora vamos usar a aproximação sugerida pelo enunciado, já que h 2 R 2 ≪ 1 :

e = R - R 1 - h 2 R 2

e ≈ R - R 1 - 1 2 h 2 R 2

e ≈ h 2 2 R

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 2

(b) Aqui podemos economizar bastante tempo utilizando a seguinte equação:

1 f = n 2 n 1 - 1 1 R 1 + 1 R 2

Onde n 2   e   n 1 são os índices de refração dentro e fora da lente, respectivamente, e R 2 e R 2 são os raios de curvatura de cada face.

No nosso caso, o índice de regração fora da lente é n 1 = 1 , já que estamos no ar, e o índice de refração dentro é simplesmente n 2 = n .

1 f = n - 1 1 R 1 + 1 R 2

Para a face plano, consideramos que o raio de curvatura é infinito, então:

lim R 1 → ∞ ⁡ 1 R 1 = 0

E o raio de curvatura da outra face é R :

1 f = n - 1 1 R

Ou seja:

f = R n - 1

Conforme queríamos demonstrar.

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

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