Enunciado

No ciclo mostrado na Figura 19-19, 1,00 mol de um gás diatômico ideal está inicialmente a uma pressão de 1,00 atm e a uma temperatura de 0,0ºC. O gás é aquecido a um volume constante até T 2   =   150 º C e é, então, expandido adiabaticamente até que sua pressão seja novamente 1,00 atm. Ele é, depois, comprimido à pressão constante de volta ao seu estado original. Determine:

  1. A temperatura após a expansão adiabática;
  2. O calor absorvido ou liberado pelo sistema durante cada etapa;
  3. A eficiência desse ciclo;
  4. A eficiência de um ciclo de Carnot operando entre os extremos de temperatura deste ciclo.

Passo 1

Muito bem, na letra a nós queremos saber qual é a temperatura depois da expansão adiabática, ou seja, T 3 .

Nós temos duas opções, calcular usando a relação entre o ponto 2 e 3 ou entre o ponto 1 e 3. Qual vamos escolher?

Nós temos mais informações sobre 1, então vamos trabalhar com ele, ok?

Se usarmos a equação para os gases ideais:

P V = n R T

Como a pressão é constante:

V T = n R P

O termo n R P é constante para ambos os pontos:

V 1 T 1 = V 3 T 3

Isolando T 3 :

→   T 3 = T 1 V 3 V 1

Deu problema, né? Não temos V 3 . Então vamos ver o que o ponto 2 nos trás. O processo entre 2 e 3 é adiabático, então vale uma relação

P 3 V 3 γ = P 2 V 2 γ

Onde

γ = g + 2 g

Aqui g equivale aos graus de liberdade. Como estamos trabalhando com gás diatômico, g = 5 :

γ = 7 5

Substituindo e isolando o volume:

V 3 = P 2 P 3 5 7   V 2

Lembrando que:

V 2 = V 1

P 3 = P 1

Então:

→   V 3 = P 2 P 1 5 7   V 1

Ainda não temos P 2 , então vamos usar o processo a volume constante de 1 até 2. Usando o mesmo raciocínio que o usado de 1 para 3:

P 1 T 1 = P 2 T 2

Isolando P 2 :

→   P 2 = P 1 T 2 T 1

Agora sim, sabemos que:

T 2 = 150 ° C + 273 = 423   K

P 1 = 1   a t m

T 1 = 0 ° C + 273 = 273   K

Achando a pressão:

  P 2 = 1   a t m . 423   K 273   K = 1,55   a t m

Agora conseguimos achar o volume, lembrando que para um gás ideal nestas condições de temperatura e pressão V 1 = 22,4 L :

V 3 = 1,55   a t m 1   a t m 5 7   22,4 L = 30,6   L

Calma que estamos quase acabando. Agora que sabemos o volume vamos calcular o que queremos:

T 3 = 273   K 30,6   L 22,4 L = 373   K

Ou em graus Celsius:

T 3 = 100 ° C

Bem grande né! Mas ainda não terminamos !

Passo 2

Na letra b precisamos descobrir o calor absorvido ou doado. A equação para o calor à volume constante é dado por:

Q 12 = C V . ∆ T 12

A capacidade térmica é dada por:

C V = g 2 n R

Já sabemos que g = 5 :

C V = 5 2 n R

No calor:

Q 12 = 5 2 n R . ( T 2 - T 1 )

Substituindo:

Q 12 = 5 2 1   m o l 8,314 J m o l . K . ( 423   K - 273   K )

Q 12 = 3,12   k J

O processo de 2 até 3 é adiabático. Então já sabemos o calor:

Q 2 3 = 0

Para o último processo, o calor deve ser calculado à pressão constante:

Q 1 3 = C p . ∆ T 12

A capacidade térmica é dada por:

C p = g + 2 2 n R

Já sabemos que g = 5 :

C p = 7 2 n R

No calor:

Q 1 3 = 7 2 n R . ( T 1 - T 3 )

Substituindo:

Q 1 3 = 7 2 1   m o l 8,314 J m o l . K . ( 273   K - 373   K )

Q 1 3 = - 2,91   k J

Passo 3

Na letra c, precisamos da eficiência. E para ela também usamos uma fórmula:

ε = W p e l o   g á s Q a b s o r v i d o

Sabemos que:

Q a b s o r v i d o = Q 12 = 3,12   k J  

Para acharmos o trabalho, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica:

∆ E i n t = W s o b r e   o   g á s + Q c i c l o

Como estamos trabalhando com o ciclo, não há variação da energia interna, já que a temperatura inicial e final são iguais:

W s o b r e   o   g á s = -   Q c i c l o = - 3,12   k J + 0 - 2,91 k J = - 0,21   k J

Mas vamos com calma. Vamos relacionar o trabalho sobre o gás com o trabalho realizado pelo gás:

W p e l o   g á s = - W s o b r e   o   g á s = 0,21   k J

Substituímos tudo:

ε = 0,21   k J 3,12   k J = 6,7 %

E se fosse um ciclo de Carnot? O que seria diferente? A forma como calculamos a eficiência:

ε c = 1 - T F T Q

Substituindo:

ε c = 1 - 273   K 423   K = 35,5 %

Resposta

  1. T 3 = 100 ° C ;
  2. Q 12 = 3,12   k J     Q 23 = 0     Q 13 = - 2,91   k J ;  
  3. ε = 6,7 % ;
  4. ε c = 35,5 % .
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