Enunciado

O ciclo Diesel, representado na Fig. P.5, onde A B e C D são adiabáticas, esquematiza o que ocorre num motor Diesel de 4 tempos. A diferença em relação ao ciclo de Otto (problema 8) é que a taxa r c = V 0 / V 1 de compressão adiabática é maior, aquecendo mais o ar e permitindo que ele inflame o combustível injetado sem necessidade de uma centelha de ignição: isto ocorre a pressão constante, durante o trecho B C ; a taxa de expansão adiabática associada a C D é r e = V 0 / V 2 . (a) Mostre que o rendimento do ciclo Diesel é dado por

η = 1 - 1 γ T D - T A T C - T B = 1 - 1 γ 1 r e γ - 1 r C γ 1 / r e - 1 / r c

(b) Calcule η para r c = 15 , r e = 5 , γ = 1,4 . (c) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas extremas.

Passo 1

(a) Já que as curvas A B e C D são adiabáticas, o único trecho em que o calor é absorvido é B C .

O trecho A D também tem troca de calor, mas como a temperatura está diminuindo, o calor não está sendo absorvido pelo gás.

Vamos calcular esse calor usando a primeira lei da termodinâmica:

Q B C = W B C + Δ U B C

Q B C = P 1 V 2 - V 1 + n C v Δ T

E agora é só reescrever o primeiro termo usando a lei dos gases ideais:

Q B C = n R T C - T B + n C v Δ T

E o segundo termo usando C v = R / ( γ - 1 )

Q B C = n R T C - T B + n R γ - 1 T C - T B

Passo 2

Ok, agora vamos calcular o trabalho realizado nos trechos C D e A B , usando a fórmula para o trabalho realizado em um trecho adiabático:

W A B = - P B V B - P A V A γ - 1

W A B = - n R T B - n R T A γ - 1 = - n R γ - 1 T B - T A

E o resultado vai ser o mesmo no outro trecho:

W C D = - n R γ - 1 T D - T C

Agora já temos tudo para calcular o rendimento:

η = W Q = W A B + W B C + W C D Q B C

η = - n R γ - 1 T B - T A + n R T C - T B - n R γ - 1 T D - T C n R T C - T B + n R γ - 1 T C - T B

Ok, ficou bem confuso, vamos tentar simplificar.

Primeiro dividimos tudo por n R e multiplicamos tudo por γ - 1 :

η = - T B - T A + γ - 1 T C - T B - T D - T C γ - 1 T C - T B + T C - T B

η = γ - 1 T C - T B - T D - T C + T B - T A γ T C - T B

Agora dá pra cancelar algumas coisas no numerador:

η = γ T C - T B - T D - T A γ T C - T B

η = 1 - 1 γ T D - T A T C - T B

Passo 3

E como demonstrar a outra parte da igualdade? Temos que usar essa fórmula aqui para os processos adiabáticos:

T V γ - 1 = c t e

No trecho C D :

T C V C γ - 1 = T D V D γ - 1

T A V A γ - 1 = T B V B γ - 1

Olhando pro gráfico, dá pra reescrever esses volumes:

T C V 2 γ - 1 = T D V 0 γ - 1

T A V 0 γ - 1 = T B V 1 γ - 1

Mas V 0 = r e V 2 e V 0 = r c V 1 , então:

T D = T C r e 1 - γ

T A = T B r c 1 - γ

E voltando na fórmula do rendimento:

η = 1 - 1 γ T D - T A T C - T B

η = 1 - 1 γ T C r e 1 - γ - T B r c 1 - γ T C - T B

Passo 4

Fica difícil simplificar essa última fórmula sem saber alguma relação entre T C e T B .

Vamos usar a lei dos gases ideais pra resolver esse problema:

P 1 V 1 T B = P 1 V 2 T C

V 1 T B = V 2 T C

Usando V 0 = r e V 2 e V 0 = r c V 1 :

V 0 / r c T B = V 0 / r e T C

T c = r c r e T B

Substituindo isso na fórmula de antes:

η = 1 - 1 γ r c r e T B r e 1 - γ - T B r c 1 - γ r c r e T B - T B

E aí dá pra cortar o T B :

η = 1 - 1 γ r c r e r e 1 - γ - r c 1 - γ r c r e - 1

Multiplicando em cima e embaixo por r e :

η = 1 - 1 γ r c r e r e - γ - r c - γ r C - r e

E pra deixar na mesma forma do enunciado é só perceber que:

r c r e r c - r e = 1 r e - 1 r c - 1

Então:

η = 1 - 1 γ r e - γ - r c - γ 1 r e - 1 r c

Pronto, demonstramos!

Passo 5

(b) Agora é só substituir os valore numéricos para calcular η :

η = 1 - 1 γ r e - γ - r c - γ 1 r e - 1 r c

Como γ = 1,4 , r c = 15 e r e = 5 :

η = 1 - 1 1,4 5 - 1,4 - 15 - 1,4 1 / 5 - 1 / 15

η ≈ 56 %

Passo 6

(b) Se você colocasse um ciclo de Carnot pra operar entre essas duas temperaturas, o rendimento dele seria o seguinte:

η C = 1 - T A T C

Já que T A e T C são as duas temperaturas extremas.

Lá atrás, nós encontramos essas duas relações para as temperaturas:

T A = T B r c 1 - γ  

T c = r c r e T B

Ou seja:

T C = r c r e T B T A = T B r c 1 - γ

Então:

η C = 1 - T B r c 1 - γ r c T B / r e = 1 - r c 1 - γ r c / r e

η C = 1 - r e r c γ  

E então, usando os mesmos valores de antes, o rendimento do ciclo de Carnot é:

η C = 1 - 5 15 1,4 ≈ 89 %

Resposta

(a) Demonstração.

(b) η = 56 % .

(c) O rendimento do ciclo de Carnot seria 89 % .

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