Enunciado

Um cilindro maciço e uniforme com massa de 8,25   k g   e diâmetro de 15,0   c m   está girando a 220   r p m   sobre um eixo delgado e de atrito desprezível, que passa ao longo do eixo de cilindro. Você projeta um freio de atrito simples, que para o cilindro pressionando o freio de encontro à periferia externa com uma força normal. O coeficiente de atrito cinético entre o freio e a periferia é 0,333 . Qual deve ser a força normal aplicada para colocar o cilindro em repouso após ele ter girado por 5,25 revoluções?

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Pra começar, vamos pensar no problema em si. Temos um cilindro maciço girando em torno do próprio eixo:

Ai a gente quer parar o cilindro usando um freio. O diagrama de forças desse problema é:

Bem, já que o problema fala de um corpo girando e fala de atrito, isso tudo cheira a momento de inérgia, aceleração angular, torque, etc.

Estamos falando de dinâmica de rotação nééé. Se pegarmos do livro nossa fórmula 10.7 , vemos que o somatório do torque é dado pelo produto entre o momento de inércia I do sistema pela aceleração angular α :

∑ τ = I ∙ α

E essa fórmula vai nos ajudar a beça! Na figura acima, bora considerar o que parece ser um “chão” na verdade vai ser o nosso freio, beleza?

Passo 2

A força de atrito responsável por freiar o cilindro vai ser, olhando pro diagrama de forças, a única força responsável pelo torque!!

Sendo f S essa força e R o braço de força, como o torque é um produto vetorial, seu módulo será:

∑ τ = τ S = R ∙ f S ∙ sin ⁡ θ

Como o ânguulo entre o braço de força T e a força de atrito ( f S ) é de - 90 graus...

∑ τ = R ∙ f S ∙ sin ⁡ 90 0

∑ τ = - R ∙ f S

E pela definição de força de atrito:

f S = μ ∙ N →

O torque total será:

∑ τ = - R ∙ μ ∙ N →

E juntando isso á fórmula 10.7 do livro, temos:

- R ∙ μ ∙ N → = I ∙ α

N → = - I ∙ α R ∙ μ

Galera, ta na mão, fórmula da normal, que é o que a questão pede, foi encontrada.

Basta calcular os valores dentro dessa expressão hahaha

Passo 3

A primeira imagem de todas já nos dá um dos nossos pulos do gato: como calcular o momento de inércia! Vale a fórmula:

I = 1 2 ∙ M ∙ R

Do enunciado, temos que:

  • M = 8,25   k g
  • R = D 2 = 15 2 = 7,5   c m = 0,075   m
  • Calculamos então:

    I = 1 2 ⋅ 8,25   k g ⋅ 0,075   m 2 = 0,02320     k g ⋅ m 2

    Passo 4

    Momento de inércia calculado! A única coisa que não temos ainda é a aceleração angular ( α )! Pra calcular ela, vamos aplicar a equação:

    ω 2 = ω 0 2 + 2 α ( θ - θ 0 )

    α = ω 2 - ω 0 2 2 ( θ - θ 0 ) = ω 2 - ω 0 2 2 ∙ ∆ θ

    As considerações agora!! Se o cilindro para de girar, temos que a velocidade angular de rotação final é nula, já que o ato de freiar leva ao repouso:

    ω = 0

    α = - ω 0 2 2 ∙ ∆ θ

    Passo 5

    Inicialmente, o cilindro está girando a 220   r p m , então esse é o nosso ω o . Mas trazendo esse cara pro S I , podemos fazer a seguinte regra de 3 :

    1   r o t a ç ã o = 2 π   r a d i a n o s

    220   r o t a ç ã o = x   r a d i a n o s

    x = 440 π   r a d i a n o s

    Nossa velocidade angular inicial será:

    ω 0 = 220   r p m = 220   r o t a ç õ e s 1   m i n u t o = 440 π   r a d i a n o s 60   s e g u n d o s ≅ 23,04   r a d / s

    Passo 6

    A gente pode fazer a mesma regra de 3 pra achar ∆ θ . O enunciado diz pra gente que foram 5,25 revoluções:

    1   r e v o l u ç ã o = 2 π   r a d i a n o s  

    5,25   r e v o l u ç õ e s = ∆ θ   r a d i a n o s  

    ∆ θ = 5,25 ∙ 2 π   r a d i a n o s

    ∆ θ ≅ 33   r a d

    Calculando então a aceleração angular, chegamos a:

    α = - 23,04   r a d / s ² 2 ∙ 33   r a d

    α ≅ -   8,04   r a d / s 2

    Passo 7

    Agora a gente junta tudo! Nossa normal será:

    N → = - I ∙ α R ∙ μ

    Onde, do enunciado:

    • μ = 0,333

    E do passo 3 e 6 :

  • R = 0,075   m
  • I = 0,02320     k g ⋅ m 2
  • α = -   8,04   1 / s 2

Assim, a normal valerá:

N → = - 0,02320     k g ⋅ m 2 ∙ -   8,04   1 / s 2 0,075   m ∙ 0,333

N → = 0,186528 0,024975   ��   k g ∙ m s 2

N → ≅ 7,47       N

Resposta

N → ≅ 7,47       N

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