Enunciado

No circuito mostrado na figura abaixo, o capacitor tem capacitância de 2.50 μ F e o resistor tem resistência de 0.500   M Ω . Antes de a chave ser fechada, a queda de potencial no capacitor é 12.0   V , como mostrado. A chave S é fechada em t = 0 . (a) Qual é a corrente imediatamente depois de a chave S ter sido fechada? (b) Em que instante t a tensão no capacitor é 24.0   V ?

Passo 1

EAE GALERA, vamos para mais uma envolvendo analise de circuitos! É aquela boa e velha aplicação da Segunda Lei de Kirchhoff’s, para a alternativa (a), basta usar a queridinha segunda lei no circuito logo depois que a chave é fechada, já para a alternativa (b), nos resta aplicar mais uma vez a segunda lei para encontrar a tensão aplicada no resistor quando a tensão no capacitor for igual a 24.0   V , com isso usaremos a expressão I t =   I 0 e - t / τ para a corrente que passa no resistor e resolveremos para t. DITO ISTO, LET’S GO!

Passo 2

Aplicando a Segunda Lei de Kirchhoff’s imediatamente após a chave do circuito for fechada:

ℇ - 12.0 V -   I 0 R = 0

ℇ - 12.0 V =   I 0 R

ℇ - 12.0 V R =   I 0

I 0 =   36.0 V - 12.0 V 0.500   M   Ω  

I 0 =   48.0   μ A  

RÁPIDO, FÁCIL, LIGEIRO, com isso aniquilamos a alternativa (a). VAMOS PARA A (B).

Passo 3

Para a resolução da (b) aplicaremos a Segunda Lei de Kirchhoff’s quando a tensão no capacitor for igual a 24.0   V e resolveremos para V R (tensão no resistor):

36.0 V - 24.0 V -   I ( t ) R = 0

36.0 V - 24.0 V = I ( t ) R

I t R = 36.0 V - 24.0 V

I t = 36.0 V - 24.0 V R

Agora expressando a correndo em função de I 0 e τ :

I 0   e - t / τ = 36.0 V - 24.0 V R

  e - t / τ = 36.0 V - 24.0 V R   I 0

L n ( e - t τ ) = L n 36.0 V - 24.0 V R   I 0

- t τ = L n 36.0 V - 24.0 V R   I 0

- t τ = L n 12.0 V R   I 0

t   = - τ   L n 12.0 V R   I 0

Sabendo que R = τ C , podemos substituir isso na equação:

t   = - τ   L n 12.0 V R   I 0

t   = - R C   L n 12.0 V R   I 0

t   = - 0.500   M Ω ( 2.50   μ F )   L n 12.0 V 0.500   M Ω ( 48.0   μ A )

t   = 0.866 s

PRONTINHO, Detonamos mais uma (toca aqui!)

Resposta

a) I 0 =   48.0   μ A  

b) t   = 0.866 s

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