Enunciado

Em um circuito R L C oscilante, mostre que Δ U / U , a fração da energia perdida por ciclo de oscilação, é dada com boa aproximação por 2 π R / ω L . A grandeza ω L / R é chamada de Q do circuito (o Q significa qualidade). Um circuito de alto Q possui uma baixa resistência e uma baixa perda de energia ( = 2 π / Q ) por ciclo.

Passo 1

Fala aí! como vai? 😉

Temos esse circuito RLC oscilante.

Temos que mostrar que Δ U / U é dada por aproximadamente 2 π R ω L .

Parece dificil? 👀

Vamos utilizar a seguinte equação para a energia do capacitor:

U t = q m a x 2 2 C

Utilizando a equação da carga máxima do capacitor:

U t = Q 2 2 C e - R t L

Passado um certo período a carga do capacitor é:

q m a x = Q e - R t + T 2 L

Esse período é dado por:

T = 2 π ω '

Veja só! 🤔

Passo 2

Então, temos que a equação da energia é:

U t + T = Q 2 2 C e - R t + T L

Podemos calcular a fração de energia perdida:

Δ U U = U t – U t + T U t = 1 - U t + T U t

Substituindo U t + T e U t ...

Δ U U = 1 - e - R T L

Fazendo com que R T L ≪ 1 , podemos fazer a seguinte aproximação:

e - R T L ≈ 1 – R T L

Dessa forma:

Δ U U = 1 - e - R T L ≈ 1 - 1 + R T L

Δ U U ≈ R T L

Substituindo o período:

Δ U U ≈ 2 π R ω L

E aí! interessante, não é? Responde Aí! 😉

Resposta

Δ U U ≈ 2 π R ω L

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