Enunciado

Um circuito consiste em um gerador ac, um capacitor e um indutor ideal – todos conectados em série. A fem do gerador é dada por ε P I C O c o s ⁡ ( w t ) .

a) Mostre que a carga no capacitor obedece à equação

L d 2 Q d t 2 + Q C = ε P I C O c o s ⁡ ( w t )

b) Mostre que por substituição direta que esta equação é satisfeita por

Q = Q P I C O c o s ⁡ ( w t )

onde

Q P I C O = - ε P I C O L ( w 2 - w 0 2 )

c) Mostre que a corrente pode ser escrita como

I = I P I C O c o s ⁡ ( w t - δ )

onde

I P I C O = w ∙ ε P I C O L | w 2 - w 0 2 | = ε P I C O | X L - X C |

δ = - 90 °   p a r a   w < w 0 ;

δ = 90 °   p a r a   w > w 0 .

Onde w 0 é a frequência de ressonância.

Passo 1

a)

Meus amados!

Vamos aplicar a lei de Kirchoff:

ε - Q C - L d I d t = 0

ε = Q C + L d I d t

Como a questão afirmou:

ε P I C O cos ⁡ w t = Q C + L d I d t

Tal que:

I = d Q d t

Por fim:

ε P I C O c o s ⁡ ( w t ) = L d 2 Q d t 2 + Q C

Passo 2

b)

Assumindo que:

Q = Q P I C O cos ⁡ w t

Por consequência:

d Q d t = - w Q P I C O s e n w t

Novamente:

d 2 Q d t 2 = - w 2 Q P I C O cos ⁡ w t

Tendo:

ε P I C O c o s ⁡ ( w t ) = L d 2 Q d t 2 + Q C

ε P I C O cos ⁡ w t L - Q C ∙ L = d 2 Q d t 2

Então:

- w 2 Q P I C O cos ⁡ w t = ε P I C O cos ⁡ w t L - Q C ∙ L

ε P I C O cos ⁡ w t = Q C - - w 2 L Q P I C O cos ⁡ w t

ε P I C O cos ⁡ w t = Q P I C O C cos ⁡ w t - w 2 L Q P I C O cos ⁡ w t

ε P I C O = - w 2 L Q P I C O + Q P I C O C

Isolando Q P I C O :

Q P I C O = ε P I C O - w 2 L + 1 C

Q P I C O = ε P I C O L - w 2 + 1 L C

Q P I C O = - ε P I C O L w 2 - w 0 2

Passo 3

c)

Como consequência da a) e da b).

I = d Q d t = - w Q P I C O s e n w t

I = w ε P I C O L w 2 - w 0 2 s e n w t = I P I C O s e n ( w t )

Sendo:

I P I C O s e n w t = I P I C O c o s ⁡ ( w t - δ )

Onde:

I P I C O = w ε P I C O L | w 2 - w 0 2 | = ε P I C O L w w 2 - w 0 2

I P I C O = ε P I C O w L - 1 w C

I P I C O = ε P I C O | X L - X C |

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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