Enunciado

67- O coeficiente de temperatura da resistência α indicado na Equação ( 25.12 ) é igual ao coeficiente de temperatura da resistividade indicado na Equação ( 25.6 ) somente quando o coeficiente de dilatação térmica é pequeno. Um tubo vertical cilíndrico contém uma coluna de mercúrio. Para a temperatura de 20 °   C , o comprimento da coluna de mercúrio é igual a 12.0   c m . O diâmetro da coluna de mercúrio é de 1.6   m m e não varia com a temperatura porque o vidro possui um valor pequeno para o coeficiente de dilatação térmica. O coeficiente de dilatação térmica do mercúrio é indicado na Tabela 17.2 , sua resistividade a temperatura de 20 ° C é indicada na Tabela 25.1 e seu coeficiente de temperatura da resistividade é indicado na Tabela 25.2 .

( a ) Para a temperatura de 20 ° C , qual é a resistência entre as extremidades da coluna de mercúrio?

( b ) A coluna de mercúrio é aquecida até 60 ° C . Qual é a variação de sua resistividade?

( c ) Qual é sua variação de comprimento? Explique por que a variação de comprimento é determinada pelo coeficiente de dilatação volumétrica em vez do coeficiente de dilatação linear?

( d ) Qual é a variação de sua resistência? (Sugestão: Como as variações relativas de ρ e de L são pequenas, pode ser útil deduzir a partir da Equação ( 25.10 ) uma relação para Δ R em termos de Δ ρ e de Δ L .)

( e ) Qual é o coeficiente de temperatura da resistência α indicado na Equação 25.12 para a coluna de mercúrio? Como esse valor se compara ao coeficiente de temperatura da resistividade? O efeito da variação do comprimento é relevante?

Passo 1

Verificar as tabelas-

O coeficiente de resistividade a temperatura do mercúrio é igual a:

α = 0.00088 1 C

A resistividade do mercúrio é de:

ρ = 95 × 10 - 8   Ω m

E o coeficiente de dilatação térmica do mercúrio é:

γ d i l a t a ç ã o - v o l u m é t r i c a = γ = 1.8 × 10 - 4 1 C

Passo 2

Dessa forma para a temperatura a resistência elétrica do mercúrio será:

R = ρ l A = 95 × 10 - 8 × 12 × 10 - 2 π 4 1.6 × 10 - 3 2 = 0.057   Ω

Passo 3

A resistividade na temperatura de 60 ° será igual a:

ρ 60 = ρ 20 1 + α 60 - 20

Então a variação da resistividade será de:

ρ 60 - ρ 20 = Δ ρ = 40 ρ 20 α = 40 × 95 × 10 - 8 × 0.00088 = 3.344 × 10 - 8   Ω m

Passo 4

Por termos uma área de seção transversal (que se mantém constante por conta do diâmetro do vidro) então teremos que fazer um cálculo considerando a variação do volume do mercúrio e que será igual a:

Δ V = γ V o Δ T

Como queremos a variação do comprimento então:

Δ V = A Δ L o

V o = A L o

A Δ L o = A γ L o Δ T

Δ L o = 1.8 × 10 - 4 × 12 × 10 - 2 × 40 = 0.864   m m

Precisamos utilizar o coeficiente volumétrico pois a área poderia muito bem variar, como não varia toda essa vontade de variar acaba se convertendo no comprimento saca? Por isso estaria errado em uitlizar o comprimento de dilatação linear aqui.

Passo 5

Assim como derivada de muitas variáveis nós podemos escrever a variação da resistência da seguinte forma:

Δ R = Δ ρ l A + ρ Δ l A

Onde ρ e l serão os valores iniciais.

Então:

Δ R = 1 π 4 1.6 × 10 - 3 2 ( 95 × 10 - 8 × 0.864 × 10 - 3 + 3.344 × 10 - 8 × 12 × 10 - 2 )

Δ R = 2.404 × 10 - 3   Ω

Passo 6

Pela fórmula 25.12 temos:

R = R o 1 + α T - T o

Δ R = 40 R o α

Então:

α = Δ R 40 R o = 2.404 × 10 - 3 40 × 0.057 = 1.0544 × 10 - 3  

Enquanto o coeficiente da temperatura da resistividade é de 0.00088 = 8.8 × 10 - 4

Comparando as duas temos:

1.0544 × 10 - 3 8.8 × 10 - 4 = 1.20

Valor 20 % maior que o coeficiente de resistividade da temperatura, e como a única variável que mudou foi o comprimento então sim a variação do comprimento influencia sim.

Resposta

a )   R = 0.057   Ω

b )   Δ ρ = 3.344 × 10 - 8   Ω m

c )   Δ l = 0.864   m m

d )   Δ R = 2.404 × 10 - 3   Ω

e )   α = 1.0544 × 10 - 3   ; 20 %   m a i o r   q u e   o   α   d o   m e r c ú r i o

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