Enunciado

O Coiote (Carnivorus famelicus) está perseguindo o Papa-léguas (Ligeiribus ariscus). Na corrida, eles chegam a um profundo desfiladeiro, com 15,0 m de largura e 100 m de profundidade. Papa-léguas se lança a um ângulo de 15° acima da horizontal e chega do outro lado com 1,5 m de folga. (a) Qual a rapidez de lançamento do Papa-léguas? (b) O Coiote também pula para cruzar o desfiladeiro, com a mesma rapidez inicial, mas a um ângulo diferente. Para seu desespero, ele vê que erra o outro lado por 0,50 m. Qual foi seu ângulo de lançamento? (suponha este ângulo menor que 15°.)

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Ele diz que o papaléguas se lança a um ângulo de θ 0 = 15 ° e assim pula um desfiladeiro.

Na vertical temos a ação da gravidade, então teremos um movimento com aceleração constante. E na horizontal não há aceleração (desconsiderando a resistência do ar), então temos velocidade constante.

E esse bichinho chega no outro lado com uma folga de 1,5   m . Então ele passou do desfiladeiro de 15   m de largura e ainda chegou mais longe, de forma que seu alcance total foi:

Δ x = R = 15 + 1,5 = 16,5   m

E o enuncido quer saber a rapidez inicial v 0 dele. A figura abaixo retrata esse movimento do enunciado:

Como temos um movimento vertical independente do movimento horizontal, é uma boa escrever as componentes de v 0 :

v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0

v 0 y = v 0   s e n   θ 0

Aí partir dessas informações e das equações referentes a cada tipo de movimento, vamos chegar no valor de v 0 . Bora lá!

Passo 2

Vamos começar equacionando o movimento horizontal. A gente tem a posição inicial e a final, e sabe que o movimento na horizontal tem velocidade constante. Logo v 0 x vai ser a velocidade de todo o movimento. Por isso, a gente pode usar a equação:

x = x 0 + v t

Onde v = v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0 , x 0 = 0 e x = R = 16,5   m :

R = v 0 x t

R = v 0 cos ⁡ θ 0 t

Agora vamos analisar o movimento vertical. Também temos a posição final e inicial. E sabemos que a acelaração é a da gravidade a y = - g = - 9,8     m / s 2 . Ela é negativa porque aponta para baixo.

Pensamos nessas coisas, a gente pode usar a equação horário da posição para a constante:

y - y 0 = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Sabemos que a posição inicial y 0 = 0 e que a final também é y = 0 (o papaléguas volta ao solo). Substituindo nossas informações e expressões na equação acima:

0 = v 0 y t - 1 2 g t 2

Lembrando que temos uma expressão para v 0 y :

0 = ( v 0 sin ⁡ θ 0 ) t - 1 2 g t 2

Passo 3

Percebe que a gente tem duas equações:

R = v 0 cos ⁡ θ 0 t

0 = ( v 0 sin ⁡ θ 0 ) t - 1 2 g t 2

E temos duas incógnitas, t e v 0 . Como queremos v 0 , vamos isolar t a primeira equação e substituir na segunda:

R = v 0 cos ⁡ θ 0 t → t = R v 0 cos ⁡ θ 0

Substituindo na segunda:

0 = ( v 0 sin ⁡ θ 0 ) R v 0 cos ⁡ θ 0   - 1 2 g R v 0 cos ⁡ θ 0 2  

0 = ( R tan ⁡ θ 0 )   - 1 2 g R v 0 cos ⁡ θ 0 2

Isolando e resolvendo para a velocidade inicial, temos:

v 0 = R g sin ⁡ 2 θ 0

Substituindo os valores, temos:

v 0 = 16,5     m ⋅ ( 9,81   m / s 2 ) sin ⁡ 30 °

v 0 = 18   m / s  

Passo 4

b) Queremos o ângulo de lançamento do Coiote. O movimento dele vai ser quase igual ao do papaléguas. Temos a mesma rapidez inicial v 0 = 18   m / s   (que a gente achou no item anterior). Ele sai da posição y 0 = 0 e passa pela posição y = 0 .

A diferença é que o alcance dele é menor. O enunciado diz que ele fica 0,5   m atrás do fim do desfiladeiro ao chegar em y = 0 . Isso quer dizer que o alcance dele é de

R = 15 - 0,5 = 14,5   m

E isso acontece porque o ângulo d salto dele é menor do que o do papaléguas. Precisamos descobrir esse ângulo θ 0 .

Como a gente tem as mesmas posições finais e iniciais de y e aqui também temos um movimento com aceleração constante na vertical e velocidade constante na horizontal, a gente pode usar a mesma expressão final que achamos para o item (a) que relaciona o alcance R , ao ângulo e a rapidez inicial:

v 0 = R g sin ⁡ 2 θ 0

Isolando quem a gente quer:

θ 0 = 1 2 sin - 1 ⁡ R g v 0 2

Susbstituindo os valores, temos:

θ 0 = 1 2 sin - 1 ⁡ 14,5     m ⋅ ( 9,81   m / s 2 ) 18 m s 2  

θ 0 = 13 °

Resposta

a ) v 0 = 18   m / s  

b ) θ 0 = 13 °

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