Enunciado

Um foguete projetado para colocar pequenas cargas em órbita é conduzido a uma altura de 12,0 km acima do nível do mar por uma aeronave convertida. Quando a aeronave está voando em linha reta com velocidade constante de 850 km/h, o foguete é liberado. Depois de soltá-lo, a aeronave mantém as mesmas altitude e velocidade e continua a voar em linha reta. O foguete cai durante um pequeno intervalo, depois do qual seu motor é acionado. Com o motor funcionando, o efeito combinado da gravidade e da força motriz produz uma aceleração constante de módulo 3,0g dirigida para cima e formando um ângulo de 30,0º com a horizontal. Por razões de segurança, o foguete deve permanecer pelo menos a uma distância de 1,0 km à frente da aeronave quando ele sobe até atingir a altura dela. Sua tarefa é calcular o intervalo mínimo da queda do foguete antes de seu motor ser acionado. Despreze a resistência do ar. Sua solução deve incluir: (i) um diagrama que mostre as

trajetórias do voo do foguete e da aeronave, identificadas mediante seus respectivos vetores para a velocidade e a aceleração em diversos pontos; (ii) um gráfico xt que mostre os movimentos do foguete e da aeronave; e (iii) um gráfico yt que mostre os movimentos do foguete e da aeronave. Nos diagramas e nos gráficos, indique o instante em que o foguete é lançado, o instante em que o motor é acionado e o instante em que o foguete sobe atingindo a altura da aeronave.

Passo 1

O foguete tem dois períodos de movimento de aceleração constante.

Seja +y para cima. Durante a fase de queda livre, a x = 0  e  a y = - g . Depois que os motores ligam, a x = ( 3.00 g ) c o s ⁡ 30.0 ∘  e  a y = ( 3.00 g ) s i n ⁡ 30.0 ∘ .

Seja t o tempo total desde que o foguete foi lançado e seja T o momento em que o foguete cai antes de o motor dar partida.

  1. O diagrama é dado na figura a.
  2. A posição x do avião é ( 236 m / s ) t e a posição x do foguete é ( 236 m / s ) t + ( 1 / 2 ) ( 3.00 ) 9.80 m / s 2 c o s ⁡ 30 ∘ ( t - T ) 2 . Os gráficos dessas duas equações são esboçados na figura b.
  3. Se tomarmos y = 0 como a altitude do avião, então y ( t ) = - 1 / 2 g T 2 - g T ( t - T ) + 1 / 2 ( 3.00 ) 9.80 m s 2 sin ⁡ 30 ∘ ( t - T ) 2 para o foguete. O avião tem y constante. Os gráficos são esboçados na figura b.

Em cada uma das figuras (de a até c), o foguete cai em t = 0 e o tempo T quando o motor é ligado e indicado.

Passo 2

Definindo y = 0 para o foguete, podemos resolver para t em termos de T:

0 = - 4.90 m s 2 T 2 - 9.80 m s 2 T ( t - T ) + 7.35 m s 2 ( t - T ) 2

Usando a fórmula quadrática para a variável x = t - T , encontramos:

x = t - T = 9.80 m s 2 T + 9.80 m s 2 T 2 + 4 7.35 m s 2 4.9 T 2 2 7.35 m s 2

Ou

t = 2.72 T

Agora, usando a condição de que x foguete  - x aeronave  = 1000 m , encontramos:

( 236 m / s ) t + 12.7 m s 2 ( t - T ) 2 - ( 236 m / s ) t = 1000 m

Ou

( 1.72 T ) 2 = 78.6 s 2

Portanto, T = 5.15 s .

Durante a fase de queda livre, o foguete e a aeronave têm a mesma coordenada x, mas o foguete move-se para baixo a partir da aeronave. Depois que os motores disparam, o foguete começa a se mover para cima e seu componente horizontal da velocidade começa a exceder o da aeronave

Resposta

T = 5.15 s .

Ver gráficos

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