Enunciado

Colisão de asteróides. Dois asteróides de igual massa no cinturão entre Marte e Júpiter colidem entre si com um estouro luminoso. O asteróide A , que se deslocava inicialmente a 40,0   m / s , é desviado em 30,0 ° da sua direção original, enquanto o asteróide B se desloca a 45,0 ° da direção original de A (Figura 8.36 ).

a) Ache a velocidade escalar de cada asteróide após a colisão.

b) Qual fração da energia cinética original do asteróide A se dissipa durante essa colisão?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar (a) a velocidade de cada asteróide de massa m após a colisão e (b) a fração de energia cinética original do asteróide A , dissipada durante a colisão.

Antes de começarmos a responder as questões, por mais que já esteja representado na figura 8.36 , acredito que a visualização da colisão não tenha ficado tão clara como deveria. Dessa forma, fazendo com que os asteroides sejam partículas e plotando a colisão em um plano cartesiano, teremos o seguinte:

Com base nesses diagramas, vamos considerar o princípio da conservação do momento linear ( p i n i c i a l = p f i n a l ) para calcular a velocidade de cada asteróide. Depois vamos usar a relação ∆ K K 1 , que representa o quociente entre a variação da energia cinética e a energia cinética inicial, para calcular a fração pedida. Vamos lá!

Passo 2

a) Sabendo que o momento se conserva para cada eixo separadamente, podemos escrever a lei de conservação do momento linear para cada eixo. Ademais, nossos termos são:

m = massa dos asteroides A e B ;

v A 1 = 40,0   m / s =   velocidade inicial do asteroide A ;

v B 1 = 0 velocidade inicial do asteroide B ;

v A 2 =   ? =   velocidade final do asteroide A ;

v B 2 =   ? = velocidade final do asteroide B .

Para o eixo x , temos que a lei de conservação do momento linear será:

p i x = p f x

No qual p é dado por m v → . Sendo assim, teremos:

m . v A 1 + m . v B 1 = m . v A 2 . cos ⁡ 30 ° + m . v B 2 . cos ⁡ 45 °

Note que os ângulos foram decompostos no eixo x , que é o eixo que estamos tratando. Simplificando as massas (porque são iguais) e sabendo que o asteroide B está em repouso inicialmente, então:

v A 1 = v A 2 . cos ⁡ 30 ° + v B 2 . cos ⁡ 45 °

Substituindo os valores:

40 = 0,866 v A 2 + 0,707 v B 2

⇒ 0,707 v B 2 = 40 - 0,866 v A 2                         ( e q .   1 )

Passo 3

Para o eixo y , temos que a lei de conservação do momento linear será:

p i y = p f y

No qual p é dado por m v → . Sendo assim, teremos:

0 = m . v A 2 . s e n   30 ° - m . v B 2 . s e n   45 °

Por que aparece esse sinal de menos? É porque o vetor velocidade está no 4 ° quadrante do plano e a função seno é negativa nesse quadrante. É importante dar uma relembrada em trigonometria para fazer as questões de colisões, beleza? Continuando:

m . v A 2 . s e n   30 ° = m . v B 2 . s e n   45 °

0,5 . v A 2 = 0,707 . v B 2     ��             ( e q . 2 )

Substituindo a equação 2 na 1 , teremos o seguinte:

0,5 ∙ v A 2 = 40 - 0,866 v A 2  

0,5 ∙ v A 2 + 0,866 ∙ v A 2 = 40

∴ v A 2 ≅ 29,3   m / s

Passo 4

Substituindo esse valor que encontramos lá na equação 2 , teremos:

0,5 ∙ ( 29,3 ) = 0,707 ∙ v B 2

∴ v B 2 ≅ 20,7   m / s

Passo 5

b) Para descobrirmos essa fração de energia cinética dissipada, o que precisamos fazer é descobrir quanto vale a razão entre a variação de energia cinética do asteroide A e a energia cinética inicial desse mesmo asteroide. Matematicamente, o que precisamos fazer é descobrir isso aqui ó:

∆ K K 1 = K 2 - K 1 K 1

∆ K K 1 = K 2 K 1 - 1

Mas quem é K 2 ? Essa é a energia cinética final do asteroide A , que é dada por:

K 2 = 1 2 m . v A 2 2 + 1 2 m . v B 2 2

E quem é esse K 1 ? Essa é a energia cinética inicial do asteroide A , que é dada por:

K 1 = 1 2 m . v A 1 2

Passo 6

Agora que encontramos as energias cinéticas, basta substituirmos naquela razão que fizemos ali em cima, se liga:

∆ K K 1 = 1 2 m . v A 2 2 + 1 2 m . v B 2 2 1 2 m . v A 2 2 - 1

Simplificando os meios e a massa, teremos:

∆ K K 1 = v A 2 2 + v B 2 2 v A 1 2 - 1 = 29,3 2 + 20,7 2 40 2 - 1

∴ ∆ K K 1 = 0,804 - 1 ≅ - 0,196 = - 19,6 %

O sinal de negativo na porcentagem indica que esse valor foi dissipado durante a colisão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) v A 2 ≅ 29,3   m / s e v B 2 ≅ 20,7   m / s

b) 19,6 %

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