Enunciado

No colisor linear de Stanford, pequenos feixes de elétrons e pósitrons são disparados uns contra os outros. No quadro de referência do laboratório, cada feixe tem aproximadamente 1,0 cm de comprimento e 10 μm de diâmetro. Na região de colisão, cada partícula tem energia de 50 GeV, e os elétrons e pósitrons se movem em direções opostas. (a) Qual é o comprimento e a largura de cada feixe em seu próprio referencial? (b) Qual deve ser o comprimento mínimo adequado do acelerador para que um pacote tenha ambas as extremidades simultaneamente no acelerador em seu próprio referencial? (O comprimento adequado real do acelerador é menor que 1000 m.) (C) Qual é o comprimento de um feixe de pósitrons em um referencial que se move com o feixe de elétrons?

Passo 1

(a) Fala aíí!! Beleza??

Se liga só, o tamanho próprio de cada feixe seria justamente o tamanho do feixe visto de um referencial que esteja parado em relação a ele. Sabemos que a relação entre os comprimentos vistos por um referencial parado e um se movendo em relação ao feixe é:

L = L P γ

Assim:

L P = γ L

Para achar gamma, vamos usar essa relação:

E = γ m c 2

γ = E m c 2 = 50   G e V 0,511   M e V

γ = 9,785 × 10 4

Substituindo isso:

L P = 9,785 × 10 4 1   c m

L P = 978,5   m

Então, esse é o tamanho do feixe visto do próprio referencial!

O diâmetro não muda!! Pois a dilatação do comprimento só ocorre para comprimentos paralelos à velocidade dos corpos.

Passo 2

(b) Bem, no referencial do feixe de elétrons, o acelerador está se movendo. Logo, o tamanho do acelerador visto do feixe de elétrons L é dado por:

L = L P γ

L P = γ L

Como queremos que o feixe caiba perfeitamente no acelerador, visto do referencial do feixe, o tamanho L deve ser igual ao tamanho próprio do feixe:

L P = ( 9,785 × 10 4 ) ( 978,5   m )

Assim, o tamanho próprio do acelerador deve ser:

L P = 9,6 × 10 7   m

Passo 3

(c) O comprimento do feixe de pósitrons no referencial do elétron é:

L p o s = L γ

L p o s = 1   c m 9,785 × 10 4

L p o s = 0,1   μ m

Prontinho!

Resposta

(a) 978,5   m e o diâmetro não muda.

(b) 9,6 × 10 7   m

(c) 0,1   μ m

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