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Um cometa que foi visto em abril de 1574 por astrônomos chineses, em um dia conhecido como Woo Woo, foi avistado novamente em maio de 1994. Suponha que o intervalo de tempo entre as observações seja o período do cometa e tome a sua excentricidade como sendo 0,11 . Quais são (a) o semi-eixo maior da órbita do cometa e (b) a sua maior distância ao Sol em termos do raio médio da órbita de Plutão, R P ?

Passo 1

(a) Queremos encontrar o semi-eixo maior da órbita, tendo apenas o seu período e excentricidade. Vamos relembrar a 3ª lei de Kepler:

T 2 = 4 . π 2 . a 3 G . M

Em que M é a massa do Sol, e a é o semi-eixo maior da elipse que descreve a órbita (quando a órbita é circular esse a vira simplesmente o raio r da órbita).

Além disso, a questão pediu para considerarmos o tempo entre as aparições como o período de revolução do cometa, então:

T = 1994 - 1574 = 420   a n o s

Convertendo de anos para segundos:

T = 420   365 .   24 . 60 . 60 = 1 , 325   .   10 10   s

Passo 2

Consultando a massa do Sol em uma tabela e substituindo tudo na equação:

T 2 = 4 . π 2 . a 3 G . M

a = G M T 2 4 π 2 3 = 6,67   .   10 - 11   .   1,99   .   10 30 .   1,325   .   10 10   s 2   4 . 3,14 2 3 = 8,389   .   10 1 2   m

Pronto, já encontramos o semi-eixo maior.

Passo 3

No item (b), queremos saber qual é a maior distância entre o cometa e o sol. Vamos ver o que está acontecendo:

Pela 1ª lei de Kepler, sabemos que se o cometa está orbitando o Sol, então o Sol ocupa um dos focos da elipse que descreve a órbita. A física acaba aqui, agora precisamos de geometria plana.

Vamos lembrar da seguinte relação na elipse:

D m á x = a . ( 1 + e )

Substituindo com o a = 8,389   .   10 12   m que encontramos, e o e = 0,11 dado no enunciado:

D m á x = a . 1 + e = 8,389   .   10 12 . 1,11 = 9,312   .   10 1 2   m

Por algum motivo o enunciado resolveu pedir a resposta em termos do raio da órbita de Plutão. Olhando uma tabela temos R P = 5,9   .   10 12   m , uma regra de três simples dá:

D ' m á x = 9,312   .   10 12 5,9   .   10 12 = 1,578   R P

Pronto!

Resposta

(a) a = 8,389   .   10 12   m

(b) D m á x = 1,578   R P

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