Enunciado

Às vezes, a presença de um planeta invisível associado à estrela distante pode ser deduzida a partir da observação do movimento da estrela. Enquanto a estrela e o planeta giram em torno do centro de massa do sistema estrela-planeta, a estrela se aproxima e se afasta de nós com a chamada velocidade ao longo da linha de visada, um movimento que pode ser detectado. A figura mostra o gráfico da velocidade ao longo da linha de visada em função do tempo para a estrela 14 Herculis. Estima-se que a massa da estrela seja 0,90 da massa do Sol. Supondo que apenas um planeta gira em torno da estrela e que a Terra está no plano da órbita do planeta, determine (a) a massa do planeta em unidades de m j , a massa de Júpiter, e (b) o raio de órbita do planeta em unidade r T o raio da órbita da Terra.

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, tudo beleza com vocês?

Saca só, a situação parece complicada mas como a gente é malandro, vamos dar um jeitinho.

Primeiro podemos resumir ao que interessa: temos um par estrela-planeta orbitando o centro de massa do sistema formado pelo próprio par.

Isso é similar a um problema conhecido, o de um sistema binário de estrelas.

Para sistemas como esse, existe uma fórmula bastante chata de demonstrar (veja o livro didático!), é essa aqui:

m 2 3 m 1 + m 2 2 = v 3 .   T 2   .   π   . G

Passo 2

Nessa fórmula, m 1 é a massa da estrela, que foi dada como sendo 0,9   M s o l

m 1 = 0,9   .   M S o l = 1,8   .   10 30   k g

Pois M S o l = 2   .   10 30   k g

Para completar a fórmula, vamos usar v = 70   m / s , e converter o período dado na questão para segundos:

T = 1500 . 24 . 60 . 60 = 1,3   .   10 8   s

O motivo pelo qual podemos usar v = 70   m / s   é bem complicado. Pra resumir, aquele gráfico mostra a velocidade com que o corpo se move ao longo da nossa “linha de visão”, ou seja, ao longo do trajeto que vemos ele percorrer no “céu”.

O valor em torno do qual ele oscila é a velocidade que deve ser usada na fórmula. Cada “comprimento de onda” naquele gráfico é uma revolução completa da estrela, e por isso podemos usar aqueles 1500 dias como período de revolução.

Passo 3

Beleza, substituindo tudo isso na fórmula:

m 2 3 1,8   .   10 30 + m 2 2 = 70 3 .   1,3   .   10 8 2   .   ( 3,14 )   . ( 6,67   .   10 - 11 ) = 1,06   .   10 23

Essa fórmula vai resultar em uma equação do terceiro grau. O ideal seria resolvê-la em um computador, ou com algum método numérico.

O resultado vai ser m 2 = 7,0   .   10 27   k g .

E isso encerra a letra (a).

Passo 4

(b) Mais uma vez vamos precisar de uma fórmula pouco conhecida. Mas antes, veja essa ilustração da situação, fica bem mais fácil de entender quando temos a imagem:

Em um sistema binário, onde dois corpos estão orbitando o centro de massa do par, se r é a distância entre os centros dos corpos e r 1 é o raio de órbita do corpo mais externo (nesse caso, o planeta):

r = m 1 + m 2 m 2 r 1

E vamos dizer que r 2 é o raio de órbita do corpo mais interno (nesse caso, a estrela):

r 2 = r - r 1

Podemos então substituir uma fórmula na outra e achar:

r 2 = m 1 + m 2 m 2 r 1 - r 1

r 2 = r 1 m 1 + m 2 m 2 - 1

Beleza. Como a questão quer o raio de órbita da estrela ( r 2 ), só precisamos achar o valor de r 1 .

Passo 5

Usando a velocidade v = 70 m / s na linha de visada para o planeta, podemos escrever:

r 1 = v T 2 π = 70 1,3.10 8 2 π = 1,4   .   10 9   m

E voltando na fórmula anterior:

r 2 = r 1 m 1 + m 2 m 2 - 1 = r 1 m 1 m 2 = ( 1,4.10 9 ) 1,8   .   10 30 7,0   .   10 27 = 3,7.10 11   m

Pronto!

Resposta

(a) m 2 = 7,0   .   10 27   k g

(b) r 2 =   3,7.10 11   m

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