Enunciado

A configuração A consiste em duas partículas puntiformes, uma tem carga + q e está no eixo x em x = + d e a outra partícula tem carga - q e está em x = - d (Figura 23-26ª). Considerando que o potencial seja zero a grandes distâncias das partículas carregadas, mostre que o potencial também é zero em uma placa plana metálica de extensão infinita e uma partícula puntiforme localizada a uma distância d da placa (Figura 23-36b). A partícula puntiforme tem uma carga igual a + q e a placa está aterrada. (O aterramento da placa obriga o seu potencial a ser igual a zero). Escolha a linha perpendicular à placa e que passa através da carga puntiforme como o eixo x , e escolha a origem na superfície da placa, a mais próxima da partícula. (Estas escolhas colocam a partícula no eixo x em x = + d ). Para a configuração B , o potencial é zero em todos o spontos no semi espaço x ≥ 0 que estão muito afastados da partícula e em todos os pontos do plano x = 0 – assim no caso da configuração A . Um teorema denominado teorema da unicidade, implica que através do semiespaço x ≥ 0 a função potencial V – e portanto, o campo elétrico E → – para as duas configurações são idênticos. Usando este resultado, obtenha o campo elétrico E → em cada ponto no plano x = 0 na configuração B . (O teorema da unicidade diz que na configuração B o campo elétrico em cada ponto do plnao x = 0 é o mesmo que na configuração A .) Use este resultado para encontrar a densidade superficial de carga σ em cada ponto no plano condutor (na configuração B )

Passo 1

Falaa galera! Baita enunciado, né? Gosto muito desse problema, pois ele trata de um dos conceitos mais bonitos da eletrostática: o método da imagem. Em eletrostática avançada, vemos que a resolução de uma equação (conhecida como equação da Laplace) irá nos fornecer o teorema da unicidade (citado no enunciado da questão). Basicamente, poderemos tratar uma carga q localizada em x = + d de um plano infinito aterrado, como sendo uma carga q em x = + d e outra carga - q em x = - d (o plano funciona como um espelho plano, por isso o nome “método das imagens”.

Passo 2

  1. Aqui, temos a seguinte configuração:
  2. Veja que

    V P = k + q r + k - q r = 0

    Assim, todos os pontos no plano x = 0 estarão sob potencial nulo. Para pontos muito distantes, temos V = 0 (por definição).

    Passo 3

  3. Vamos usar o teorema da unicidade. O campo elétrico na configuração (A) é o mesmo que na configuração (B). Porém, o da configuração (A) é muito mais simples de ser calculado... veja que beleza :D

Vamos então, calcular o campo elétrico da figura (A)

Temos

E + = E - = k q r 2 = k Q R 2 + d 2

O campo resultante é:

E = E + cos ⁡ θ + E - cos ⁡ θ = 2 k Q d R 2 + d 2 3 / 2 = Q q 2 π ε 0 R 2 + d 2 3 / 2

A densidade de um plano é dada por

σ = ε 0 E σ = q d 4 π R 2 + d 2 3 / 2

Resposta

  1. Ver acima.
  2. σ = q d / 4 π R 2 + d 2 3 / 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O objeto de metal na Fig. 28-41 é uma figura de revolução em relação ao eixo horizontal. Se este está carregado negativamente, esboce alguns equipotenciais e linhas de campo elétrico. Use preferencial
Uma carga de −9,0 nC está distribuída uniformemente em um anel fino de plástico situado no plano yz, com o centro do anel na origem. Uma carga pontual de −6,0 pC está situada no ponto x = 3,0 m do eix
Uma partícula de carga q é mantida fixa num ponto P e uma segunda partícula de massa m com a mesma carga q está inicialmente em repouso a uma distância r 1 de P . A segunda partícula é, então, liberad
Calcule: (a) o potencial elétrico criado pelo núcleo de um átomo de hidrogénio na distância média de circulação do elétron (/ = 5,29 X10'm) (b)a energia potencial elétrica do átomo, quando o elétron e
Em um campo elétrico uniforme perto da superfície da Terra, uma partícula com uma carga de - 2,0 × 10 - 9 C é submetida a uma força elétrica para baixo de 3 , 0 2 × 10 - 6N . ( a ) Determine a intensi