Lista de Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Carga Pontual

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Considere o seguinte corte perpendicular a uma família de quatro superfícies equipotenciais, associadas a um campo eletrostático. Assinale a opção que melhor indica o vetor campo elétrico em cada um dos pontos A e B, respectivamente.

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Uma carga positiva + q está localizada no ponto x = 0 e y = - a e uma carga negativa – q está localizada no ponto x = 0 e y = + a .

  1. Faça um diagrama para mostrar as posições da cargas.
  2. Deduza uma relação para o potencial V em qualquer ponto sobre o eixo O x em função da coordenada x . Considere zero o potencial a uma distância infinita das cargas.
  3. Faça um gráfico do potencial sobre o eixo O x em função de x de x = - 4 a até x = + 4 a .
  4. Qual seria a resposta do item (b) se as cargas fossem trocadas de posição, ou seja, se + q fosse localizada em y = + a e – q em y = - a ?

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Uma carga positiva + q está localizada no ponto x = 0 e y = - a e uma carga negativa – q está localizada no ponto x = 0 e y = + a .

  1. Deduza uma relação para o potencial V em qualquer ponto sobre o eixo O y em função da coordenada y .
  2. Mostre que, quando y ≫ a , o potencial em qualquer ponto sobre a parte positiva do eixo O y é dado por
  3. V ≈ - 1 4 π ε 0 2 q a y 2     .

  4. Qual seria a resposta dos itens (b) e (c) se as cargas fossem trocadas de posição, ou seja, se + q fosse localizada em y = + a e – q em y = - a ?

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a ) Calcule o campo elétrico E → no ponto O devido à distribuição octogonal de cargas na figura (use o sistema de coordenadas indicado);

b ) Calcule o potencial elétrico em O ;

c ) Qual será a aceleração instantânea adquirida por uma partícula de massa m , carregada com uma carga positiva q 0 , abandonada em O ?

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Uma certa distribuição estática de cargas produz um potencial eletrostático V que depende apenas da distância r até a origem de um sistema de coordenadas. O gráfico de V ( r ) é mostrado na figura abaixo, com quatro regiões destacadas. Sobre o campo eletrostático produzido por essa distribuição,   E → = E r ( r ) r ^ , onde   r ^ é o vetor unitário da direção radial, podemos afirmar que:

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Sabendo que, na figura, a = 4,0   c m e que o módulo de q vale 3,0   n C , responda:

a ) Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P ?

b ) Qual é a variação energia potencial elétrica para trazermos uma carga de prova q 0 = 1,0   n C do infinito até o ponto P ?

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Um campo elétrico uniforme está orientado do oeste para o leste. O ponto B está 2,0   m a oeste do ponto A , o ponto C está 2,0   m a leste do ponto A e o ponto D está 2,0   m ao sul de A . Para cada ponto B , C e D , determine se o potencial do ponto é maior, menor ou igual ao do ponto A .

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Considere uma carga pontual q = 1   μ C , o ponto A a uma distância d 1 = 2 m de q e o ponto B a uma distância d 2 = 1 m de q .

(a) Se A e B estão diametralmente opostos como na figura (a), qual é a diferença de potencial elétrico V A - V B ?

(b) Qual é a diferença de potencial elétrico se A e B estão localizados como na figura (b)?

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Na figura, quando um elétron se desloca de A para B ao longo de uma linha de campo elétrico, esse campo realiza um trabalho de 3,94.10 - 19 J . Quais são as diferenças de potencial elétrico:

(a) V B - V A

(b) V C - V A

(c) V C - V B

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Um dipolo elétrico é colocado no eixo x com + Q em x = a e – Q em x = 0 .

a ) Calcule o potencial elétrico num ponto qualquer do eixo x para x > a . Considere o referencial de potencial nulo no infinito.

b ) Apesar do potencial da letra a ) não ser genérico, mesmo assim podemos, a partir dele, encontrar uma componente do campo elétrico. Responda qual é esta componente e calcule-a.

c ) Se uma carga pontual q for colocada no ponto x = 3 a , calcule a força elétrica sobre ela e a energia potencial associada à configuração.

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Uma esfera isolante maciça de raio R 1 = 2   m possui uma densidade de carga não uniforme dada pela expressão : ρ r = B . r onde B é desconhecida. Esta esfera isolante é concentricamente circundada por uma fina casca esférica condutora com raios interno R 2 = 4   m e externo R 3 = 6   m , como mostrado na figura.

O fluxo elétrico através de uma superfície esférica gaussiana de raio r > R 3 vale ϕ 3 = 4 × 10 6   N m 2 / C . Sabendo que a carga líquida depositada na casca esférica vale Q L i q = 12 μ C :

a ) Calcule o valor da carga total Q 1 da esfera maciça interna.

b ) Calcule o valor da constante B com as unidades.

c ) Calcule a razão σ e x t / σ i n t entre as densidades de carga interna e externa da casca esférica condutora.

d ) Utilizando a lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico na região R 1 < r < R 2 .

e ) Calcule a diferença de potencial ( V R 1 - V R 2 ), com sinal, entre a esfera interna e a casca esférica.

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Considere as seguintes afirmações:

  1. Em um ponto qualquer do interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é sempre nulo;
  2. Em um ponto qualquer do interior de um isolante, o campo elétrico é sempre nulo;
  3. Se o fluxo do campo elétrico resultante através de uma superfície fechada (gaussiana) for zero, então não existem partículas carregadas no interior dessa superfície;
  4. Para todos os pontos (internos e na superfície) de um condutor em equilíbrio eletrostático o potencial é o mesmo.

Dessas afirmações, quais são todas as corretas?

  1. I, IV
  2. I
  3. III
  4. IV
  5. I, III, IV

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Duas esferas condutoras, carregadas, de raios R 1 e R 2 estão afastadas a uma distância muito grande, de modo que o campo elétrico na vizinhança de cada esfera pode ser considerado como somente devido à distribuição de carga uniforme da própria esfera. As esferas estão ligadas por um fio condutor fino que simplesmente promove o contato elétrico entre elas. Se R 2 = 3 R 1 , qual é a afirmação verdadeira?

  1. E 2 = 3 E 1
  2. E 1 = 9 E 2
  3. E 2 = E 1
  4. E 1 = 3 E 2
  5. E 2 = 9 E 1

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Duas partículas (pontuais), separadas por uma distância d , com cargas elétricas q 1 e q 2 diferentes ( q 1 ≠ q 2 ), produzem um potencial nulo num ponto P do espaço. Tomando o potencial como zero no infinito, isso significa necessariamente que:

  1. Não há outra força elétrica atuando sobre uma outra partícula de teste colocada no ponto P
  2. As cargas q 1 e q 2 devem ter o mesmo sinal
  3. O trabalho para colocar a partícula de carga q 1 a uma distância d da partícula de carga q 2 é zero
  4. O trabalho para trazer uma partícula de teste carregada, desde o infinito até o ponto P , é zero

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Na figura à seguir, temos duas partículas (pontuais), com carga q e - q . Aquela de carga q está envolvida por uma superfície (gaussiana) cúbica, com aresta de comprimento a situando-se no centro do cubo. Um segmento de reta, também de comprimento a , perpendicular a uma das faces do cubo, une as duas partículas. Para esse arranjo obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico sobre toda a superfície gaussiana; (II) o fluxo do vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores para essas grandezas são:

  1. 2 q / ϵ 0 , q / ( 6 ϵ 0 ) , 0
  2. q / ϵ 0 , q / ( 3 ϵ 0 ) , 0
  3. q / ϵ 0 , 0 , q / ( 3 π a ϵ 0 )
  4. q / ϵ 0 , q / ( 3 ϵ 0 ) , q / ( π a ϵ 0 )
  5. 2 q / ϵ 0 , 0 , q / ( 3 π a ϵ 0 )
  6. 0 , q / ( 6 ϵ 0 ) , q / ( π a ϵ 0 )

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A figura à seguir mostra esquematicamente uma seção transversal de um objeto condutor maciço (de carga elétrica total nula) colocado em um campo eletrostático externo, após atingido o equilíbrio eletrostático.

As letras A , B , C e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque a opção que relaciona corretamente os potenciais eletrostáticos nos referidos pontos:

  1. V A = V B = V C e V C = V D
  2. V A > V B > V C e V C = V D
  3. V A < V B < V C e V C = V D
  4. V A > V B > V C e V C > V D
  5. V A > V B > V C e V C < V D
  6. V A < V B < V C e V C < V D
  7. V A = V B = V C e V C < V D

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Duas partículas de cargas q 1 e q 2 , separadas pela distância d , produzem um potencial V 12 P = 0 no ponto P .

Traz-se então uma terceira partícula do infinito até o ponto P . Sabendo-se que o potencial gerado pelas 3 partículas V 123 é nulo no infinito, pode-se concluir que:

a O campo elétrico gerado apenas por q 1 e q 2 deve ser zero em P .

b O trabalho total para aproximar as partículas de carga q 1 e q 2 do infinito até a distância d é zero.

c O trabalho realizado pela força elétrica ao trazer-se a terceira carga do infinito para o ponto P é zero.

d A força elétrica exercida por q 1 e q 2 sobre q 3 é zero.

e A energia potencial desse sistema de 3 cargas é zero.

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O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V x , y , z = A x 2 + y 2 + z 2 , onde A é uma constante não nula.

a Deduza uma expressão para o campo elétrico E → na região.

b Deduza o trabalho W realizado pela força elétrica sobre uma partícula de carga q , quando esta é deslocada do ponto 0 ,   0 ,   z 0 até o ponto 0 ,   0 , z 0 / 2 .

c Seja agora uma região esférica, centrada na origem, de raio R . Qual a carga no interior dessa superfície?

Obs.: você pode achar útil escrever o campo em coordenadas esféricas.

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a ) Calcule o campo elétrico E → no ponto O devido à distribuição octogonal de cargas na figura (use o sistema de coordenadas indicado);

b ) Calcule o potencial elétrico em O ;

c ) Qual será a aceleração instantânea adquirida por uma partícula de massa m , carregada com uma carga positiva q 0 , abandonada em O ?

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Deseja-se acelerar um elétron do repouso até uma velocidade igual a 1 / 300 da velocidade da luz. Sabendo que a massa do elétron vale 9,1   ×   10 - 31   k g , sua carga vale 1,6   × 10 - 19 C e a velocidade da luz vale 3.0   × 10 8   m / s , qual é a diferença de potencial a que ele deve ser submetido?

  1. 5.6   V
  2. 1.4   V
  3. 2.8   V
  4. 2.8   μ V
  5. 1.4   μ V
  6. 5.6   μ V

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Dois semi-planos condutores infinitos se encontram num ângulo reto. Na região entre eles x > 0 ,   y > 0 o potencial elétrico é dado por

V x , y , z = A x y ,

onde A > 0 é uma constante positiva.

a ) Determine o campo elétrico no primeiro quadrante x > 0 ,   y > 0 .

b ) Usando a lei de Gauss com a superfície S fechada, cilíndrica e infinitesimal, mostrada de perfil na figura, determine a densidade superficial de carga σ x ,   0 ,   z na face horizontal do condutor.

c ) Determine a integral de linha do campo elétrico

∫ P Q E → ∙ d l →

ao longo do segmento de reta P Q , conforme a figura.

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Uma camada semiesférica isolante de raio interno a e externo b tem uma densidade volumétrica de carga que decresce com o inverso da distância r ao centro O segundo ρ r = A / r .

Dados A ,   a , b ,   q e m .

  1. Determine a carga total da camada semiesférica.
  2. Determine o potencial elétrico no ponto O da cama semiesférica. Adote potencial nulo no infinito.
  3. Se uma carga pontual q com o mesmo sinal da constante A da densidade volumétrica de carga é solta no centro O , qual é a velocidade final v f → que ela atinge?

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Duas partículas puntiformes carregadas com a mesma carga q positiva, fixas sobre o eixo y , estão localizadas simetricamente em relação à origem, uma em y = a e a outra em y = - a .

a ) Determine o potencial eletrostático V x ,   y ,   z num ponto qualquer do espaço.

b ) Suponha que uma partícula com carga - Q seja abandonada do repouso no ponto P = 0 ,   0 ,   h com h > 0 . Determine a energia cinética da carga - Q   quando ela passar pela origem O = 0 ,   0 ,   0 do sistema de coordenadas (despreze a forca peso).

c ) Calcule a energia potencial U P do sistema formado pelas três cargas na configuração em que a carga −Q está no ponto P = 0 ,   0 ,   h e na configuração em que a carga - Q está na origem O = 0 ,   0 ,   0 . O resultado é compatível com o obtido no item b ?

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O potencial elétrico devido a uma esfera carregada de raio a é

V x ,   y ,   z = V 0 a r ,     s e   r ≥ a 2 V 0 - V 0 r a ,     s e   r < a

onde V 0 > 0 é constante e r = x 2 + y 2 + z 2 é a distância ao centro da esfera.

a ) Determine o campo elétrico E → para r > a e r < a .

b ) Determine a carga total Q da esfera.

c ) Calcule o fluxo através da face superior do cubo de lados L > a mostrado na figura que tem três arestas ao longo dos eixos x ,   y e z . Expresse o resultado em termos da carga total Q da esfera e de ϵ 0 .

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Uma distribuição de cargas com densidade linear constante λ > 0 está localizada ao longo do eixo y no intervalo - ∞ < y ≤ 0 conforme a figura.

a ) Calcule o vetor campo elétrico num ponto qualquer do eixo x com coordenada x > 0 .

b ) Adotando-se potencial nulo no ponto A do eixo x com x = a > 0 , calcule o potencial elétrico num ponto do eixo x com coordenada x > 0 .

c ) Determine o trabalho que deve ser realizado para levar uma carga q do ponto A do eixo x em x = a > 0 ao ponto D do eixo x em x = 2 > 0 segundo a trajetória A B C D mostrada na figura.

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Considere o sistema abaixo, mantido fixo por forças externas, que consiste numa partícula pontual de carga q > 0 e massa m , situada na origem do sistema de coordenadas, e um semi-anel de raio a situado no plano x y e centrado na origem. A densidade linear de carga do semi-anel depende do ângulo ϕ de acordo com a seguinte função: λ ϕ = λ 0 sen ⁡ ϕ , onde λ 0 é uma constante positiva.

a ) Calcule a carga total do anel;

b ) Calcule o vetor força elétrica que age sobre a carga pontual;

c ) Suponha que o anel é mantido fixo na sua posição e a partícula é liberada a partir do repouso. Qual será o módulo da velocidade da partícula quando ela se encontrar muito longe r → ∞ do anel?

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Numa certa região do espaço existe um potencial elétrico dado por:

V r = α a 4 4 r   p a r a   r > a α 12 4 a 3 - r 3   p a r a   r ≤ a

onde r é a distância até a origem do sistema de coordenadas e α e a são constantes.

a ) Quais são as unidades das constantes α e a no Sistema Internacional de Unidades?

b ) Obtenha o vetor campo elétrico nesta região do espaço.

c ) Quanta carga existe dentro de uma esfera (imaginária) de raio a / 2   centrada na origem?

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Uma esfera condutora de raio a e com carga Q é envolta por uma camada esférica isolante de raio interno a e externo 2 a com densidade de carga volumétrica ρ = 3 Q / ( 4 π a 3 ) constante.

a ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço;

b ) Determine o potencial elétrico em todo o espaço. Adote potencial nulo no infinito;

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Uma barra semi-infinita, mostrada na figura ao longo do lado positivo do eixo horizontal x , possui carga positiva homogeneamente distribuída com densidade linear λ .

  1. Determine o vetor campo elétrico num ponto P = ( 0 , y ) sobre o lado positivo do eixo y .
  2. Calcule a diferença de potencial eletrostático Δ V = V B - V A entre os pontos A = 0 , a e B = 0 , b sobre o lado positivo do eixo y , como indicados na figura.

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Uma camada esférica condutora, com carga Q > 0 , tem raio interno a e raio externo b . No centro da camada, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q > 0 , conforme a figura.

a ) Usando a lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.

b ) A partir do campo elétrico calcule o potencial elétrico na região 1 r ≥ b , na região 2 a ≤ r ≤ b e na região 3 0 ≤ r ≤ a . Defina o potencial no infinito igual a zero.

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Considere que os terminais de uma bateria com uma DDP conhecida V B estão conectados a duas placas (planas) condutoras, muito grandes, e perpendiculares ao eixo Y . As placas não se tocam, e têm uma distribuição superficial de cargas uniforme e estacionária. Saiba ainda que a placa de menor (maior) potencial está localizada em y = 0   ( y = L ) . Um elétron com massa m e carga - e é lançado na região interior às placas, com uma velocidade inicial v → 0 = v 0 . x ^ . A evolução temporal das coordenadas x ( t ) e y ( t ) do elétron dentro da região limitada pelas placas pode ser dada por:

  1. x = v 0 . t ; y = 1 2 . e . V B m . L . t 2
  2. x = 1 2 . e . V B m . L . t 2 ; y = v 0 . t
  3. x = v 0 . t ; y = v 0 . t
  4. x = - v 0 . t ; y = 1 2 . e . V B m . L . t 2  
  5. x = v 0 . t ; y = - 1 2 . e . V B m . L . t 2
  6. x =   1 2 . e . V B m . L . t 2 ; y =   - v 0 . t

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Quatro cargas puntiformes são colocadas nos vértices 1 ,   2 ,   3   e 4 de um retângulo, de

acordo com a figura abaixo. O retângulo tem lados de comprimento a e b . Considere

q   >   0 .

( a ) Calcule o vetor força resultante que atua na carga localizada na origem

(vértice 1 ).

b Determine o vetor campo elétrico no centro do retângulo ( ponto de

coordenadas ( x   =   a / 2 , y   =   b / 2 ) ) .

( c ) Calcule o trabalho necessário para trazer uma carga Q do infinito até o

ponto P de coordenadas ( x   =   a / 2 , y   =   b ) .

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Duas cargas de sinais opostos e iguais magnitudes Q = 3,0   μ C são mantidas a uma distância de 0,6   m entre si, como mostrado na figura. ( k = 1 4 π ε 0 = 9,0     .   10 9   N   .   m 2 / C 2 )

I – Assinale a opção que representa a magnitude do campo elétrico no ponto P.

a) 6,5   .   10 4   V / m

b) 1,3   .   10 5   V / m

c) 2,6   .   10 5   V / m

d) 1,3   .   10 4   V / m

e) zero

II – Assinale a opção que representa o potencial elétrico no ponto P.

a) 10,8   .   10 4   V

b) 3,6   .   10 4   V

c) 5,4   .   10 3   V

d) 9,0   .   10 4   V

e) zero

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Uma casca esférica fina e oca de raio R é carregada com um excesso de carga positiva. Qual dos gráficos ilustra corretamente o potencial elétrico devido à casca carregada em função da distância r ao centro da casca. Considere a origem do potencial V = 0 em r → ∞ .

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Considere uma esfera maciça com densidade volumar de carga constante (estacionária e uniforme), raio R e carga total Q > 0 . Qual das alternativas abaixo melhor representa os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial elétrico, devidos a essa esfera em função da distância r ao centro?

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Uma casca condutora esférica, espessa, de raios interno e externo iguais a a e b , respectivamente, encontra-se em equilíbrio eletrostático e possui carga q . Uma partícula, de carga q / 2 está situada, em repouso, no centro de tal casca. Que relação é válida entre os potenciais V a = V ( r = a ) e V b = V ( r = b ) ?

a) V b = 2 V a