Enunciado

Considere um circuito fechado com uma resistência elétrica total R . Imagine que o campo magnético na região do circuito varie no espaço e no tempo de forma arbitrária, e seja Φ B t o fluxo magnético na superfície contornada pelo circuito no instante t . Mostre que no intervalo de tempo entre os instantes t 1 e t 2 a carga total que percorre o circuito é

q = 1 R Φ B t 1 - Φ B t 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Eu sei que esse exercício parece estranho, mas vamos partir da lei de Faraday que você vai ver que ele é bem facinho...

Sabemos que

E = - d Φ B d t

Assim, como E = R I , temos que

R I = - d Φ B d t

Isolando a corrente:

I = - 1 R ⋅ d Φ B d t

Passo 2

Sabemos que a corrente é a derivada temporal da carga, de modo que

q = ∫ t 1 t 2 I   d t

Com isso vamos integrar os dois lados da equação do passo anterior:

q = ∫ t 1 t 2 I   d t = - 1 R ∫ t 1 t 2 d Φ B d t   d t

Usando o teorema fundamental do cálculo, achamos

∫ t 1 t 2 d Φ B d t   d t = Φ B t 2 - Φ B t 1

Jogando o sinal de menos para dentro temos

q = 1 R Φ B t 1 - Φ B t 2

Era isso que o enunciado pediu para gente verificar, viu que simples?

Resposta

Demonstração.

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