Enunciado

Considere uma esfera condutora maciça no interior de uma esfera condutora oca,a esfera interna tem raio a e carga q e a esfera externa tem raio interno b e raio externo c e não possui carga líquida. Considere V = 0 para r → ∞ . Use o campo elétrico, E = 0   p a r a   r ≤ a , E = k q r 2   p a r a   a < r < b , E = 0   p a r a   b < r < c e E = k q r 2   p a r a   r > c , para calcular o potencial para os seguintes valores de r:

(a) r = c (sobre a superfície externa da esfera oca);

(b) r = b (sobre a superfície interna da esfera oca);

(c) r = a (sobre a superfície da esfera maciça);

(d) r = 0 (no centro da esfera maciça).

Passo 1

Para acharmos o potencial a partir do campo elétrico, precisamos usar a expressão:

V a - V b = ∫ a b E _ ⋅ d r _

Nessa questão temos que V a = V ∞ = 0

Então temos:

- V = ∫ ∞ b E _ ⋅ d r _

Passo 2

letra a)

Para r = c :

Teremos aqui E = k q r 2

- V c = ∫ ∞ c k q r 2 ⋅ d r

V c = - - k q r ∞ c

V c = k q c

Passo 3

letra b)

Para r = b :

- V b = ∫ ∞ b E _ ⋅ d r _ = ∫ ∞ c E _ ⋅ d r _ + ∫ c b E _ ⋅ d r _

A primeira integral calcularmos no item anterior e para a segunda integral E = 0 ( p a r a   b < r < c )

V b = k q c - ∫ c b 0 ⋅ d r

V b = k q c

Passo 4

letra c)

Para r = a :

- V a = ∫ ∞ a E _ ⋅ d r _ = ∫ ∞ c E _ ⋅ d r _ + ∫ c b E _ ⋅ d r _ + ∫ b a E _ ⋅ d r _

A primeira e segunda integral já calculamos.

V a = k q c + 0 - ∫ b a k q r 2 ⋅ d r

V a = k q c - - k q r b a

V a = k q 1 c + 1 a - 1 b

Passo 5

letra d)

Para r = 0 :

Como o potencial no interior de uma esfera metálica é igual ao potencial na sua superfície:

V 0 = V a

V 0 = k q 1 c + 1 a - 1 b

Resposta

letra a) V c = k q c

letra b) V b = k q c

letra c) V a = k q 1 c + 1 a - 1 b

letra d) V 0 = k q 1 c + 1 a - 1 b

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