Enunciado

Considere um espalhamento Compton de um fóton que colide com um elétron que se move. Antes da colisão, o fóton possui comprimento de onda λ e está se deslocando no sentido + x e o elétron está se deslocando no sentido - x com energia total E (que inclui sua energia de repouso m c 2 ). A colisão entre o fóton e o elétron é central. Depois da colisão, ambos se movem no sentido - x (ou seja, o ângulo de espalhamento é igual a 180 ° ).

  1. Deduza uma expressão para o comprimento de onda λ ' do fóton espalhado. Mostre que, quando E ≫ m c 2 , em que m é a massa do elétron, seu resultado se reduz a
  2. λ ' = h c E 1 + m 2 c 4 λ 4 h c E .

  3. Um feixe de radiação infravermelha proveniente de um laser de C O 2 ( λ = 10,6   μ m ) colide centralmente com um feixe de elétrons, cada um deles com energia total E = 10,0   G e V ( 1   G e V = 10 9   e V ). Calcule os comprimentos de onda λ ' dos fótons espalhados, supondo um ângulo de espalhamento igual a 180°.
  4. Que tipo de fóton espalhado é obtido (infravermelho, micro-onda, ultravioleta, etc.)? Você pode imaginar alguma aplicação para esse efeito?

Passo 1

Vamos lá! Podemos começar lembrando que em uma colisão o momento deve ser conservado. Sendo assim

p f → + p e → = p ' f → + p ' e → .

Sabendo que a colisão se dá em apenas uma dimensão e adotando as informações da movimentação do fóton e do elétron, temos

p f - p e = - p f ' - p e ' ⇒ p f ' = p e - p f ' - p e '         ( 1 ) .

Passo 2

Como a energia também deve ser conservada

p f c + E = p f ' + E ' .

Podemos escrever a energia final do elétron como

E ' = p e ' c 2 + m c 2 2 .

Sendo assim, temos que

p f c + E = p f ' c + p e ' c 2 + m c 2 2

A fim de eliminar a raiz do lado direito, passaremos p f ' para o outro lado e elevaremos os dois lados ao quadrado

p f c + E - p f ' c 2 = p e ' c 2 + m c 2 2 2

Abrindo a equação acima e fazendo as operações algébricas, temos que

p f c - p f ' c 2 + E 2 = 0         ( 2 ) .

Passo 3

Aplicando a equação (1) em (2), temos

p f ' p e c 2 - 2 p f c 2 - E c = p f - E c - p e c 2

p f ' = p f E + p e c 2 p f c + ( E - p e c .

Passo 4

Sabendo que

p = h λ

Podemos dizer que

λ ' = h p f '

Levando em consideração o momento inicial é do fóton é dado por

p f = h λ

Temos que

λ ' = λ 2 h c λ + ( E - p e c ) E + p e c = λ E - p e c E + p e c + 2 h c E + p e c   ( 3 ) .

Passo 5

Levando em consideração que

E ≫ m c 2

Temos

p e c ≈ E 1 - 1 2 m c 2 E 2 + …

⇒ E - p e c = 1 2 m c 2 E 2

Substituindo esta relação em (3),

λ ' ≈ λ m c 2 2 2 E 2 E + h c E = h c E 1 + m 2 c 4 λ 4 h c E     ( 4 )

Passo 6

Se

λ = 10,6 × 10 - 6   m ;

E = 1,00 × 10 10 e V = 1,60 × 10 - 9   J

Substituindo os valores em (4), temos

λ ' =   7,08 × 10 - 15   m .

Passo 7

Estes fótons são na verdade raios- γ .

Neste processo, vimos que a radiação infravermelha foi convertida em raios- γ . Isto pode ser usado em diversas situações, como em espectroscopia nuclear, medicina nuclear e até mesmo em física de altas energias.

Resposta

a )         λ = h c E 1 + m 2 c 4 λ 4 h c E

b )       λ ' =   7,08 × 10 - 15   m .

c )       r a i o s - γ .

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