Enunciado

Quando um fóton é emitido, o átomo recua em obediência à conservação do momento linear. Isso significa dizer que o fóton e o átomo untos absorvem a energia da transição. a) Para um átomo de massa m , calcule a correção ∆ λ para o comprimento de onda do fóton emitido produzido pelo recuo do átomo. Chame de λ o comprimento da onda do fóton emitido sem considerar o recuo do átomo. (Sugestão: a correção é muito pequena, como sugerido no Problema 38.52, logo, ∆ λ / λ ≪ 1 . Use esse fato para obter uma expressão aproximada, porem precisa para ∆ λ . b) Calcule essa correão para o átomo de hidrogênio no qual um elétron na orbita de ordem n retorna a seu estado fundamental. Como a resposta depende de n ?

Passo 1

(a) Beleza, a questão pede para a gente encontrar a razão da diferença no comprimento de onda do fóton quando desprezamos o recuo do átomo e quando não desprezamos.

Vamos começar usando a conservação de energia para o processo todo:

E t r = E r + E f ó t o n

A energia de transição de um nível de energia mais alto para o mais baixo libera um fóton, essa energia é igual à energia do próprio fóton mais a energia de recuo do átomo.

Mas a gente sabe a equação da energia de um fóton:

E f ó t o n = h c λ '

O linha ‘ no comprimento de onda é para a situação onde não desprezamos o recuo do átomo

A primeira equação então fica:

E f ó t o n = h c λ ' = E t r - E r

Isolando λ ' :

λ ' = h c E t r - E r

E a energia para o caso em que desprezamos o recuo:

E t r = E f ó t o n

Assim:

E t r = E f ó t o n = h c λ

Isolando λ :

λ = h c E t r

Passo 2

Agora a gente faz a diferença entre os comprimentos para os dois casos:

∆ λ = λ ' - λ

E substitui:

∆ λ = h c E t r - E r - h c E t r

Tirando MMC:

∆ λ = h c E t r 1 1 - E r E t r - 1

O primeiro termo no parêntesis pode ser escrito como:

1 1 - E r E t r = 1 - E r E t r - 1 ≅ 1 + E r E t r

Sendo que na última aproximação usamos o teorema binomial, já que a energia de recuo é muito pequena a ponto de muitas vezes ser desprezada.

Substituindo na equação sobra:

∆ λ = h c E t r E r E t r

Mas como:

E t r = λ / h c

Então:

∆ λ = λ 2 E r h c

Passo 3

A energia de recuo depende do momento do átomo:

E r = p r 2 2 m

Mas podemos escrever o momento de recuo em termos das propriedades do fóton envolvido. Sabemos que o momento de um fóton é:

p f ó t o n = h λ

Pela conservação:

p f ó t o n = p r

Então:

h λ = p r

Agora a gente substitui na energia:

E r = h λ 2 2 m

Substituindo na equação do Passo 2:

∆ λ = λ 2 E r h c h λ 2 2 m = h 2 m c

Passo 4

b) Para o átomo de hidrogênio, basta a gente substituir o valor das constantes e da massa dele na equação que encontramos na (a):

∆ λ = 6,626 × 10 - 34   J ⋅ s 2 ( 1,673 × 10 - 27   k g ) ( 2,998 × 10 8   m / s ) = 6,61 × 10 - 16   m

E a correção não depende de n já que as transições estão em uma escala muito maior em termos de comprimento λ do que a correção, e ela pode ser desprezada.

Resposta

a )   ∆ λ = h 2 m c

b )   6,61 × 10 - 16   m

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