Enunciado

Considere uma estrutra cristalina bidimensional quadrada, como, por exemplo, um dos lados da estrutura que aparece na figura. A maior distância interplanar dos planos refletores é a 0 , a dimensão da célula unitária. Calcule e mostre em um desenho (a) a segunda maior, (b) a terceira maior, (c) a quarta maior, (d) a quinta maior e (e) a sexta maior distância interplanar. (f) Mostre que os resultados dos itens (a) e (e) estão de acordo com a fórmula geral

d = a 0 h 2 + k 2

Onde h e k são números primos em comum (isto é, que não possuem fatores em comum além da unidade).

Passo 1

A menor distância interplanar já está demonstada na figura. Agora vamos fazer um desenho bidimensional de um dos lados da estrutura da figura para encontrar as outras.

(a) Para encontrar a segunda maior distância, vamos fazer linhas diagonais, como nesse desenho:

E então podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a distância interplanar d :

a 0 2 + a 0 2 = 2 d 2

2 a 0 2 = 4 d 2

d = a 0 2

Beleza, agora vamos usar esse mesmo procedimento para calcular as próximas distâncias.

Passo 2

(b) Para encontrar a terceira maior distância, vamos fazer linhas um pouco mais “inclinadas” para definir os planos:

E aplicando o teorema de pitágoras:

a 0 2 + 2 a 0 2 = 5 d 2

25 d 2 = 5 a 0 2

d = a 0 5

Passo 3

(c) Agora vamos desenhar linhas ainda mais inclinadas:

3 a 0 2 + a 0 2 = 10 d 2

100 d 2 = 10 a 0 2

d = a 0 10

Passo 4

(d) Mais uma vez:

2 a 0 2 + 4 a 0 2 = 16 d 2

d 2 = 20 256 a 0 2

Aproximando 20 256 = 12,8 ≅ 13 :

d = a 0 13

Passo 5

(e) E por último:

a 0 2 + 4 a 0 2 = 17 2 d 2

289 d 2 = 17 a 0 2

d = a 0 17

Passo 6

Agora queremos mostrar que os nossos últimos cinco resultados se encaixam nessa fórmula:

d = a 0 h 2 + k 2

Só o que precisamos fazer é achar pares de números “primos em comum” h e k para cada um dos resultados que achamos. Vamos fazer isso em uma tabela:

Não esqueça, para que h e k sejam “primos em comum”, o único divisor comum entre eles tem que ser o número 1 .

Na tabela fica claro que os resultados realmente estão de acordo com a fórmula geral.

Resposta

(a) d = a 0 / 2 .

(b) d = a 0 / 5 .

(c) d = a 0 / 10 .

(d) d = a 0 / 13 .

(e) d = a 0 / 17 .

(f) Ver tabela.

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