Enunciado

14. Conforme a Seç. 4.12 , Eq. ( 4.95 ) , a amplitude transmitida por um holograma de onda plana é proporcional a cos 2 ⁡ ( k sen ⁡ θ   x ' ) . Mostre que, para uma rede de difração com esse perfil de “fendas”, só se formam os máximos principais m = 0 ,   m = ± 1 , para a onda incidente de referência, conforme foi afirmado após a ( 4.99 ) .

Passo 1

Vamos juntos para cima dessa questão.

Para mostrar o que o enunciado pede, vamos trabalhar com a amplitude transmitida quando iluminamos essa rede pela onda de referência (de forma análoga ao que o livro fez na página 133 ).

Essa amplitude transmitida é dada pela onda incidente (nesse caso a onda de referência ( v R ) ) multiplicada pela transmissão da amplitude T , onde temos que:

T ( x ' ) = T - + K I ( x ' )

Onde T - é a transmissão média do holograma e K é uma constante.

Podemos ignorar o termo T - , e assim temos que a amplitude transmitida é dada por:

v x ' = K v R I ( x ' )

Então vamos calcular I ( x ' ) , lembrando que:

I x ' = v 0 x ' + v R ( x ' ) 2

Usando as definições de v 0 ( x ' ) e v R ( x ' ) dadas na equação 4.94 .

v 0 x ' = A e i k x ' sen ⁡ θ

v R x ' = A e - i k x ' sen ⁡ θ

Passo 2

Vamos então calcular esse I ( x ' ) , temos:

I x ' = v 0 x ' + v R ( x ' ) 2

= v 0 * v 0 + v R * v R + v 0 * v R + v R * v 0

Usando o que sabemos temos o seguinte:

I x ' = A e - i k x ' sen ⁡ θ A e i k x ' sen ⁡ θ + A e i k x ' sen ⁡ θ A e - i k x ' sen ⁡ θ + A e - i k x ' sen ⁡ θ A e - i k x ' sen ⁡ θ +

+ A e i k x ' sen ⁡ θ A e i k x ' sen ⁡ θ

Simplificando isso temos o seguinte:

I x ' = A 2 + A 2 + A 2 e - 2 i k x ' sen ⁡ θ + A 2 e 2 i k x ' sen ⁡ θ

= 2 A 2 + A 2 e - 2 i k x ' sen ⁡ θ + A 2 e 2 i k x ' sen ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos pegar o que encontramos para I ( x ' ) e encontrar a amplitude transmitida, temos:

v x ' = K v R I ( x ' )

⇒ v x ' = K A e - i k x ' sen ⁡ θ 2 A 2 + A 2 e - 2 i k x ' sen ⁡ θ + A 2 e 2 i k x ' sen ⁡ θ

= 2 K A 2 A e - i k x ' sen ⁡ θ + K A 2 A e - 3 i k x ' sen ⁡ θ + K A 2 A e i k x ' sen ⁡ θ

Agora vamos analisar isso o que encontramos, de cara podemos ver que a amplitude transmitida é composta por três ondas e sabendo que:

v 0 x ' = A e i k x ' sen ⁡ θ

v R x ' = A e - i k x ' sen ⁡ θ

Podemos ver que o primeiro termo se propaga na mesma direção que v R ( x ' ) , logo corresponde ao modo m = 1 . (Veja a figura 4.41 do livro).

O terceiro termo se propaga na mesma direção que v 0 ( x ' ) , logo corresponde ao modo m = 0 . (Veja a figura 4.41 do livro).

O segundo termo se propaga em uma outra direção que não atrapalha no processo e ela corresponde a m = - 1 .

Então como pode ser visto a amplitude transmitida provem de três ondas que corresponde aos modos m = 0 ,   ± 1 . Portanto só esses máximos principais se formam.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma rede de difração com 180r a n h u r a s / m m é iluminada com uma luz que contém apenas dois compimentos de onda, λ 1 = 400n m e λ 2 = 500n m . O sinal incide perpendicularmente na rede. (a) Qual
Uma rede de difração tem 350 ranhuras por milímetro e é iluminada por luz branca com incidência normal. Uma figura de difração é observada em uma tela, a 30c m da rede. Se um furo quadrado com 10m m d
Uma rede de difração com 20,0m m de largura possui 6000 ranhuras. Uma luz com um comprimento de onda de 589n m incide perpendicularmente na rede. Determine (a) o maior, (b) o segundo maior e (c) o ter
Um feixe de luz que contém todos os comprimentos de onda entre 460,0n m e 640,0n m incide perpendicularmente em uma rede de difração com 160r a n h u r a s / m m . (a) Qual é a menor ordem que se supe
Uma luz de comprimento de onda 600n m incide normalmente em uma rede de difração. Dois máximos de difração vizinhos são observados em ângulos dados por sen ⁡ θ = 0,2 e sen ⁡ θ = 0,3 . Os máximos de qu