Enunciado

Considere um gás hipotético para o qual a função F ( v ) de distribuição de velocidades [definida na Seção 12.2(d)] tivesse a forma indicada na Fig. P.1. Calcule em função de v 0 : (a) A constante de normalização A (fig.) (b) Os valores de ⟨ ν ⟩ , ν p e ν para esta distribuição.

Passo 1

(a) Pra encontrar a constante de normalização temos que usar essa fórmula aqui:

∫ - ∞ ∞ F v   d v = 1

Basicamente, ela diz que a área embaixo da curva ali no gráfico tem que ser igual a 1 .

Vamos usar a fórmula para a área do triângulo então:

1 2 B a s e × A l t u r a = 1 2 2 ν o × A

E igualando a 1 :

1 2 2 ν o × A = 1

A = 1 ν 0

Passo 2

(b) Pra encontrar os valores de ν , ν p e ν a gente vai ter que escrever uma função F ν a partir do gráfico.

Vamos fazer um trecho de cada vez, começando com 0 ≤ ν ≤ ν 0 :

Com esses dois pontos a gente já consegue definir a equação:

F ν 0 = 0 F 0 = 0         ⇒           A = a ν 0 + b 0 = b

Resolvendo o sistema o resultado vai ser o seguinte:

b = 0 a = A ν 0 = 1 ν 0 2

Então:

F ν = 1 ν 0 2 ν ,           0 ≤ ν ≤ ν 0

Agora vamos para o segundo trecho:

F ν 0 = A F 2 ν 0 = 0         ⇒           A = a ν 0 + b 0 = 2 ν 0 a + b

Substituindo a segunda equação na primeira:

A = ν 0 a - 2 ν 0 a

A = - ν 0 a

a = - A ν 0 = - 1 ν 0 2

E substituindo isso na segunda equação:

b = - 2 ν 0 a = 2 ν 0 ν 0 2 = 2 ν 0

F ν = - 1 ν 0 2 ν + 2 ν 0 ,           0 ≤ ν ≤ 2 ν 0

Pronto, agora já temos a função completa:

F ν = 1 ν 0 2 ν ,                                     0 ≤ ν ≤ ν 0 - 1 ν 0 2 ν + 2 ν 0 ,           0 ≤ ν ≤ ν 0

E a função é nula em qualquer outro ponto.

Passo 3

Agora a gente já pode começar a calcular os pontos que o enunciado pediu. Começando pelo ν p .

Esse é o mais fácil, é simplesmente o “pico”. Ou seja, é a velocidade ν que dá o maior valor F ν . Olhando o gráfico, dá pra ver que:

ν p = ν 0

Ok, já o ⟨ ν ⟩ exige uma conta um pouco mais longa. A fórmula é essa aqui:

ν = ∫ 0 ∞ F ν ν   d ν

Substituindo com a função que a gente escreveu ali em cima:

ν = ∫ 0 ν 0 1 ν 0 2 ν ν d ν + ∫ ν 0 2 ν 0 - 1 ν 0 2 ν + 2 ν 0 ν d ν

Organizando um pouco:

ν = 1 ν 0 2 ∫ 0 ν 0 ν 2 d ν - 1 ν 0 2 ∫ ν 0 2 ν 0 ν 2 d ν + 2 ν 0 ∫ ν 0 2 ν 0 ν d ν

Agora é só resolver as integrais:

ν = 1 ν 0 2 ν 0 3 3 - 1 ν 0 2 8 ν 0 3 3 - ν 0 3 3 + 2 ν 0 4 ν 0 2 2 - ν 0 2 2

Pra simplificar, vamos cortar ν 0 em cada uma das frações:

ν = 1 3 ν 0 - 8 ν 0 3 - ν 0 3 + 2 4 ν 0 2 - ν 0 2

ν = ν 0 3 - 7 ν 0 3 + 3 ν 0

ν = - 6 ν 0 3 + 3 ν 0 = ν 0

Pronto! A velocidade média acabou sendo igual à velocidade de pico.

Passo 4

E agora, pra finalizar, temos que calcular a velocidade quadrática média.

É praticamente a mesma coisa do passo anterior, só que tem um ν a mais dentro da integral, e estamos integrando de - ∞ a + ∞ :

ν 2 = ∫ - ∞ ∞ F ν ν 2   d ν

O primeiro passo é substituir a F ν .

ν 2 = ∫ 0 ν 0 1 ν 0 2 ν ν 2 d ν + ∫ ν 0 2 ν 0 - 1 ν 0 2 ν + 2 ν 0 ν 2 d ν

ν 2 = 1 ν 0 2 ∫ 0 ν 0 ν 3 d ν - 1 ν 0 2 ∫ ν 0 2 ν 0 ν 3 d ν + 2 ν 0 ∫ ν 0 2 ν 0 ν 2 d ν

Agora é só resolver as integrais:

ν 2 = 1 ν 0 2 ν 0 4 4 - 1 ν 0 2 16 ν 0 4 4 - ν 0 4 4 + 2 ν 0 8 ν 0 3 3 - ν 0 3 3

E simplificar:

ν 2 = 1 4 ν 0 2 - 16 ν 0 2 4 - ν 0 2 4 + 2 8 ν 0 2 3 - ν 0 2 3

ν 2 = ν 0 2 4 - 15 ν 0 2 4 + 14 ν 0 2 3

ν 2 = - 14 ν 0 2 4 + 14 ν 0 2 3

ν 2 = - 42 ν 0 2 + 56 ν 0 2 12 = 14 12 ν 0 2 = 7 6 ν 0

Beleza, agora, pra calcular a velocidade quadrática média, é só lembrar do seguinte:

ν 2 = v q m 2 = 7 6 ν 0

ν q m = 7 6 ν 0

Pronto!

Resposta

(a) A constante de normalização é A = 1 / ν 0 .

(b) Os valores são ν p = ν 0 , ν = ν 0 e ν q m = 7 6 ν 0 .

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