Enunciado

Num feixe molecular, a densidade de corrente (número médio de moléculas por unidade de área e tempo), para moléculas com velocidades entre v e v + d v , é dada pela (12.3.3). Calcule v p e E p para as moléculas do feixe, comparando os resultados com os valores correspondentes v p ' e E p ' dentro do forno do qual o feixe é extraído.

Eq. 12.3.3:

j v = A n v F v ∝ n v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T

Obs: Onde A é uma constante de proporcionalidade.

Passo 1

Vamos começar olhando para a equação que o enunciado deu:

j v = A n v F v ∝ n v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T

Ou seja, a j ( v ) é alguma coisa parecida com isso:

j v = A n v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T

Considerando n = 1 :

j v = A v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T

E quando a gente normalizar a função pra encontrar essa constante A , o resultado vai sero mesmo que aparece na distribuição de Maxwell:

A = 4 π m 2 π k T 3 / 2  

Então:

j v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T

Passo 2

Pra calcular v p , a gente tem que achar um ponto de máximo da função j ( v ) . Então vamos derivar e igualar a zero:

d d v j v = 0

d d v 4 π m 2 π k T 3 2 v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T = 0

Logo de cara as constantes vão sumir:

d d v 4 π m 2 π k T 3 2 v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T = 0

d d v v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T = 0

E aplicando a regra do produto para derivar:

3 v 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T - m v 4 k T exp ⁡ - m v 2 2 k T = 0

Dividindo os dois lados pela exponencial:

3 v 2 - m v 4 k T = 0

E é só resolver pra encontrar v P :

m v 2 k T = 3

v p = 3 k T m

Essa é a velocidade mais provável para as moléculas do feixe.

Passo 3

Pra encontrar a energia mais provável das moléculas do feixe, vamos voltar na fórmula:

j v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 v 3 exp ⁡ - m v 2 2 k T d v

E a ideia agora é tentar transformar isso em j E :

E = m v 2 2         ⇒           d E = m v   d v

Então vamos substituir todos os v ' s por E ' s de acordo com as fórmulas:

j E = 4 π m 2 π k T 3 2 v 3   exp ⁡ - 1 k T E d E m v

j E = 4 π m 2 π k T 3 2 v 2   exp ⁡ - 1 k T E d E m

j E = 4 π m 2 π k T 3 2 2 E m   exp ⁡ - 1 k T E d E m

A ideia é achar um ponto de máximo dessa função, então não vamos nem perder muito tempo simplificando:

j E = 4 π m 2 π k T 3 2 2 m E   exp ⁡ - 1 k T E d E m

Assim que a gente derivar e igualar a zero, as constantes vão sumir:

d d E j E = 0

d d E   E   exp ⁡ - 1 k T E = 0

Aplicando a regra do produto:

exp ⁡ - 1 k T E - E 1 k T exp ⁡ - 1 k T E = 0

E dividindo os dois lados pela exponencial:

1 - E 1 k T = 0

E p = k T

Beleza, então já achamos v p e E p do feixe:

v p = 3 k T m E p = k T

Passo 4

Agora queremos achar v p ' e E p ' , que são as mesmas grandezas de antes, mas agora estamos pensando nas moléculas que estão dentro do forno.

Nesse caso a gente pode simplesmente usar as fórmulas que vêm da distribuição de Maxwell.

A velocidade mais provável é:

v ' p = 2 k T m

E a energia mais provável é:

E ' p = k T 2

Essa última fórmula também foi demonstrada quando a gente resolveu o problema 6 .

Resposta

Para o feixe, temos v p = 3 k T m e E p = k T . Para o interior do forno, temos v p ' = 2 k T m e E p ' = k T 2 .

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