Enunciado

Uma partícula de massa m está ligada por uma mola de constante elástica k e massa desprezível a outra partícula de mesma massa, suspensa do teto por uma mola idêntica à anterior (figura). Inicialmente o sistema está em equilíbrio. Seja, z 1 e z 2 deslocamentos, a partir das respectivas posições de equil´brio, das partículas 1 e 2 , com o eixo dos z orientado verticalmente para baixo. (a) Escreva as equações de movimento para z 1 e z 2 . (b) Obtenha os modos normais de oscilação vertical do sistema. Para isto, considere uma nova coordenada q , combinação linear de z 1 e z 2 : q = α z 1 + β z 2 . Escreva a equação de movimento para q e procure determinar os coeficientes α e β de tal forma que esta equação para 1 se reduza à equação de movimento de um oscilador harmônico simples. Você obterá duas soluções q 1 e q 2 , que se chamam as coordenadas normais (Seção 4.6). Calcule as frequências angulares de oscilação ω 1 e ω 2 associadas aos dois modos normais do sistema.

Passo 1

A distensão da mola de cima é exatamente igual à posição z 1 da massa 1 . E a distensão da mola de baixo é z 1 - z 2 .

Com isso fica fácil escrever as duas equações do movimento. Lembre que a lei de Hooke é:

F = - k x

Então para a primeira massa a gente pode escrever o seguinte:

m z ¨ 1 = - k z 1 - k z 1 - z 2

m z ¨ 1 = - 2 k z 1 + k z 2

E para a segunda massa:

m z ¨ 2 = - k z 2 - z 1

m z ¨ 2 = - k z 2 + k z 1

Beleza, vamos organizar essas duas equações em um sistema:

m z ¨ 1 = - 2 k z 1 + k z 2 m z ¨ = - k z 2 + k z 1

E pra simplificar essas expressões, vamos definir uma constante nova:

K = k m

Então:

z ¨ 1 + 2 K z 1 = K z 2 z ¨ 2 + K z 2 = K z 1

Passo 2

(b) O próximo passo é procurar as coordenadas normais. Pra fazer isso nós vamos usar uma coordenada q dessa forma:

q = α z 1 + β z 2

A ideia é fazer com que essa coordenada obedeça a uma equação de oscilador harmônico:

q ¨ + ω 2 q = 0

Então vamos substituir a primeira equação nessa última:

d 2 d t 2 α z 1 + β z 2 + ω 2 α z 1 + β z 2 = 0

α z ¨ 1 + β z ¨ 2 + ω 2 α z 1 + β z 2 = 0

E agora a gente vai usar aquelas equações no final do passo 1 :

α K z 2 - 2 z 1 + β K z 1 - z 2 = - ω 2 α z 1 - ω 2 β z 2

z 1 K β - 2 α + z 2 K α - β = - ω 2 α z 1 - ω 2 β z 2

Os termos que multiplicam z 1 e z 2 dos dois lados têm que ser iguais:

K β - 2 α = - ω 2 α K α - β = - ω 2 β

Passo 3

E agora temos que resolver esse sistema pra encontrar β e α . Pela primeira equação:

β = α 2 - ω 2 K

E pela segunda:

α = β 1 - ω 2 K

Se a gente multiplicar as duas equações, o resultado vai ser o seguinte:

β α = α 2 - ω 2 K β 1 - ω 2 K

Dividindo os dois lados por β α :

2 - ω 2 K 1 - ω 2 K = 1

E já podemos aproveitar pra encontrar as frequências que o enunciado pediu na letra (c). Simplificando um pouco essa última equação:

2 - ω 2 K 1 - ω 2 K = 1

1 K 2 ω 4 - 3 K ω 2 + 1 = 0

Isso é uma equação de segundo grau que a gente pode resolver pra encontrar ω 2 :

ω 2 = 3 K ± 9 K 2 - 4 1 K 2 ( 2 / K 2 )

ω 2 = 1 K 3 ± 9 - 4 ( 2 / K 2 )

ω 2 = K 3 ± 5 2

E então a gente fica com duas soluções:

ω 1 2 = K 2 3 + 5 ω 2 2 = K 2 3 - 5

Beleza, agora continuamos resolvendo a letra (b).

Passo 4

A expressão que a gente tinha encontrado para β e α eram as seguintes:

β = α 2 - ω 2 K

α = β 1 - ω 2 K

Isso quer dizer que a nossa solução tem um grau de liberdade, ou seja, podemos escolher uma variável arbitrariamente sem prejudicar a solução.

Então vamos deixar β = 1 e usar a segunda equação:

α = 1 - ω 2 K

E agora vamos ter uma solução para cada ω 2 :

α 1 = 1 - 1 2 3 + 5 = - 1 2 5 + 1

α 2 = 1 - 1 2 3 - 5 = 1 2 5 - 1

E então a nossa coordenada normalizada q fica assim:

q 1 = - 1 2 5 + 1 z 1 + z 2

q 2 = 1 2 5 - 1 z 1 + z 2

Resposta

(a) As equações de movimento são z ¨ 1 + 2 K z 1 = K z 2 z ¨ 2 + K z 2 = K z 1 .

(b) Os modos normais são q 1 = - 1 2 5 + 1 z 1 + z 2 e q 2 = 1 2 5 - 1 z 1 + z 2 .

(c) As frequências angular são ω 1 2 = K 2 3 + 5 e ω 2 2 = K 2 3 - 5 .

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