Enunciado

Considere um gás ideal de N moléculas, em equilíbrio num recipiente de volume V . Calcule: (a) a probabilidade p 1 de encontrar todas as moléculas concentradas num volume V / 3 (macroestado 1 ); (b) a probabilidade p 2 de encontrá-las todas num volume 2 V / 3 (macroestado 2); (c) A probabilidade p de encontrar N / 3 moléculas em V / 3 e as demais no volume restante; (d) A diferença de entropia Δ S = S 2 - S 1 entre os estados 1 e 2 ; (e) os valores numéricos de p 1 , p 2 e p para N = 9 .

Passo 1

(a) Cada uma das moléculas pode estar em qualquer lugar do volume V , certo?

Então a probabilidade de que uma única molécula esteja em uma região V / 3 em um dado instante é:

P i = V / 3 V = 1 3

Agora, a probabildiade de que todas as N moléculas façam isso é:

p 1 = 1 3 × 1 3 × … × 1 3

Ou seja, temos que multiplicar as probabilidades N vezes:

p 1 = 1 3 N

Passo 2

(b) O que muda quando queremos a probabilidade de encontrar a molécula em uma região de volume 2 V / 3 ?

É bem simples, a probabilidade para uma única molécula vira:

P i = 2 3

E então:

p 2 = 2 3 N

Passo 3

(c) Agora queremos a probabilidade de encontrar N / 3 moléculas em um terço do volume, e as outras no resto do volume.

Bom, aqui temos que multiplicar duas probabilidades:

P 3 = P r o b .   d e   N 3   e m   V 3 × P r o b .   d e   2 3 N   e m 2 3 V

P 3 = 1 3 N / 3 × 2 3 2 N / 3

O problema é que podemos ter vários “grupos” de moléculas em cada uma dessas situações.

O número de “grupos possíveis” é:

n = N N / 3

Já que os grupos vão se revezar em terços! Então a probabilidade final é:

p 3 = N N / 3 1 3 N / 3 2 3 2 N / 3

Passo 4

(d) Agora vamos lembrar da fórmula para a variação de entropia entre dois estados W 1 e W 2 :

Δ S = k ln ⁡ W f W i

Onde W f e W i são as probabilidades que a gente calculou nos itens (a) e (b):

Δ S = k ln ⁡ 2 V / 3 N V / 3 N

Δ S = k ln ⁡ ( 2 N )

Δ S = N k ln ⁡ 2

Passo 5

(e) Só precisamos lembrar das fórmulas para cada uma das probabilidades:

p 1 = 1 3 N p 2 = 2 3 N p = N N / 3 1 3 N / 3 2 3 2 N / 3

E quando N = 9 :

p 1 = 1 3 9 p 2 = 2 3 9 p = 9 9 / 3 1 3 9 / 3 2 3 18 / 3

É só jogar tudo na calculadora:

p 1 = 5,08 × 10 - 5 p 2 = 2,60 × 10 - 2 p = 2,73 × 10 - 1

Resposta

(a) p 1 = 1 / 3 N .

(b) p 2 = 2 / 3 N .

(c) p = N N / 3 1 3 N / 3 2 3 2 N / 3 .

(d) Δ S = N k ln ⁡ 2 .

(e) p 1 = 5,08 × 10 - 5 , p 2 = 2,60 × 10 - 2 , p = 2,73 × 10 - 1 .

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