Enunciado

7. Um pistão é constituído por um disco ao qual se ajusta um tubo oco cilíndrico de diâmetro d , e está adaptado a um recipiente cilíndrico de diâmetro D . A massa do pistão com o tubo é M e ele está inicialmente no fundo do recipiente. Despeja-se então pelo tubo uma massa m de líquido de densidade p ; em consequência, o pistão se eleva de uma altura H . Calcule H .

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha nesse maravilhoso e complicado livro de Física.

Olha só! Nos estamos trabalhando com um recipiente cilíndrico que acopla em seu interior um tubo cilíndrico. Ou seja, a primeira coisa que temos de fazer é obter a área compreendida pela base do pistão, que é dada por:

A = π 4 D 2 - d 2

E como nós sabemos; a pressão exercida sobre uma superfície é a divisão da força atuante, no caso a força peso, pela área dessa superfície. Sendo assim...

P = M g π 4 D 2 - d 2

Passo 2

Só que a nossa questão menciona que esse nosso sistema está em equilíbrio. E o que isso quer dizer, afinal de contas?

Ora bolas, que dizer que essa pressão que obtivemos no P a s s o   1 deve se igualar à pressão da coluna de água, dada pelo produto da densidade da água pela altura da coluna e a gravidade... Ficamos então, com a seguinte igualdade:

M g π 4 D 2 - d 2 = ρ g h

Isolemos, em seguida, esse h :

h = M g π 4 ρ g D 2 - d 2

h = M π 4 ρ D 2 - d 2

Pronto! Achamos h ! Vamos guardar ele a sete chaves, pra usar quando for a hora.

Passo 3

O que acha agora, de obtermos o valor da massa total m   de líquido presente no nosso sistema. Moleza, né? Basta fazer o produto da densidade ρ pelo volume de água V .

m = ρ V

E como podemos ver no enunciado, o volume V é dado por...

V = π D 2 H 4 + π d 2 h 4

O que nos eleva até:

m = ρ π D 2 H 4 + π d 2 h 4

Por fim, só falta isolar esse H :

4 m ρ = π D 2 H + π d 2 h

π D 2 H = 4 m ρ - π d 2 h

H = 4 m ρ π D 2 - π d 2 h π D 2

H = 4 m ρ π D 2 - d 2 h D 2

E lembra lá do valor de h no final do P a s s o   2 ... Pois é, ele vai cair aqui:

H = 4 m ρ π D 2 - d 2 D 2 ⋅   M π 4 ρ D 2 - d 2

H = 4 m ρ π D 2 - 4 M d 2 ρ π D 2 D 2 - d 2

H = 4 ρ π D 2 m - M d 2 D 2 - d 2

E fim! Resposta encontrada!

Resposta

H = 4 ρ π D 2 m - M d 2 D 2 - d 2

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