Enunciado

Considere um prisma de ângulo de abertura α e um raio incidente sobre uma face com ângulo de incidência   θ 1 : seja n o índice de refração do prisma. Chama-se desvio δ o ângulo entre as direções do raio emergente é do raio incidente (fig.). Mostre que, para pequenos ângulos de abertura ( α ≪ 1 ) e pequenos ângulos de incidência ( θ 1 ≪ 1 ), o desvio é independente de   θ 1 e é dado por δ = n   –   1 α .

Passo 1

Vamos lá! Acompanha aqui comigo.

Primeiro, vamos prolongar as normais, vemos que elas formam um triângulo. Vamos chamar alguns ângulos e tirar umas propriedades disso, usando geometria. Bora lá!

Vemos que:

θ 1 = θ + θ 2

θ 1 ' = θ ' + θ 2 '

Olhando para os triângulos formados, vamos usar que a soma dos ângulos internos é 180 ° .

θ + ϕ ' + θ ' = 180 °

E

θ 2 + ϕ + θ 2 ' = 180 °

Dessas duas, temos que

ϕ ' = 180 ° - ( θ + θ ' )

ϕ = 180 ° - ( θ 2 ' + θ 2 )

Beleza.

Além disso, vemos que

ϕ ' + δ = 180 °

Então

δ = 180 ° - ϕ '

Substituindo o ϕ ' :

δ = 180 ° - 180 ° + ( θ + θ ' )

δ = θ + θ '

Mas olha lá para as primeiras duas relações que achamos:

θ 1 = θ + θ 2

θ = θ 1 - θ 2

E

θ 1 ' = θ ' + θ 2 '

θ ' = θ 1 ' - θ 2 '

Com isso:

δ = θ + θ '

δ = θ 1 - θ 2 + θ 1 ' - θ 2 '

δ = θ 1 + θ 1 ' - ( θ 2 + θ 2 ' )

Show! Guarda essa aí.

Vamos olhar agora para o quadrilátero que eu destaquei aqui:

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 ° , então:

α + 90 ° + ϕ + 90 ° = 360 °

Ali temos os ângulos retos por causa da normal em relação ao prisma, ok?

Mas olha, lá em cima, nos vimos que:

ϕ = 180 ° - ( θ 2 ' + θ 2 )

Então

α + 90 ° + ϕ + 90 ° = 360 °

α + 90 ° + 180 ° - ( θ 2 ' + θ 2 ) + 90 ° = 360 °

α - ( θ 2 ' + θ 2 ) = 0

α = ( θ 2 ' + θ 2 )

Beleza.

Mas o enunciado diz que θ 1 ≪ 1 , então, como θ 1 = θ + θ 2 , temos que θ 2 ≪ 1 . Mas aí o α que encontramos é

α = ( θ 2 ' + θ 2 )

E como α ≪ 1 , θ 2 ' + θ 2 ≪ 1 , mas vimos que θ 2 ≪ 1 , dessa forma

α ≈ θ 2 '

Além disso, como θ 1 ≪ 1 , θ 1 + θ 1 ' ≈ θ 1 ' . Com isso, a expressão para δ que encontramos:

δ = θ 1 + θ 1 ' - θ 2 + θ 2 '

Fica

δ = θ 1 ' - ( θ 2 ' )

Colocando o θ 2 ' em evidencia:

δ = θ 2 ' θ 1 ' θ 2 ' - 1

Mas,

α ≈ θ 2 '

Então

δ = α θ 1 ' θ 2 ' - 1

Agora, vamos usar a lei de snell na interface do lado direito do prisma:

n sen ⁡ θ 2 ' = n 1 sen ⁡ θ 1 '

Tomando n 1 = 1 , ou seja, o ar. Temos:

n = sen ⁡ θ 1 ' sen ⁡ θ 2 '

Mas, para pequenos ângulos, vale a aproximação sen ⁡ θ ≈ θ . Então

n ≈ θ 1 ' θ 2 '

Com isso, a expressão para δ fica:

δ = α θ 1 ' θ 2 ' - 1

δ = α n - 1

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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