Enunciado

Um raio de luz deslocando-se com velocidade c parte do ponto 1 da Figura 33.54 é refletido no ponto 2. O raio atinge a superfície a uma distância horizontal x do ponto 1. a) Demonstre que o tempo t necessário para a luz se deslocar de 1 até 2 é dado por

t = y 1 2 + x 2 + y 2 2 + l - x 2 c

b) Faça a derivada de t em relação a x . Iguale a zero a derivada para mostrar que esse tempo atinge o valor mínimo quando θ 1 = θ 2 , que é a lei da reflexão e corresponde à trajetória real do raio. Trata-se do princípiclo tempo mínimo formulado por Fermat, segundo o qual, entre as trajetórias possíveis ligando dois pontos, aquela que realmente ocorre é a que gasta um tempo de percurso mínimo. (Contudo, existem alguns casos em que o tempo é máximo em vez de mínimo.)

Passo 1

a)

Aqui queremos saber o tempo de percurso que a luz demorou para fazer desde o ponto 1 até o ponto 2.

Sabemos que

v = Δ S Δ t

Então:

t = Δ S c

Só temos que decobrir o deslocamento. Para isso, vamos analisar os dois triângulos retângulos formados na figura.

Quando o raio está “descendo”, temos que o deslocamento pode ser encontrado pelo teorema de pitágoras:

d 1 = y 1 2 + x 2

E quando o raio está “subindo”:

d 2 = y 2 2 + l - x 2

Beleza! A distância total é d 1 + d 2

t = d 1 + d 2 c

t = y 1 2 + x 2 + y 2 2 + l - x 2 c

Show! Vamos para e letra b!

Passo 2

b)

Vamos derivar aquela equação em relação a x , e confirmar o príncipio de Fermat do tempo mínimo.

d t d x = 1 c 1 2 2 x y 1 2 + x 2 + 1 2 2 ( - 1 ) ( l - x ) y 2 2 + l - x 2    

Arrumando

d t d x = 1 c x y 1 2 + x 2 + ( - 1 ) ( l - x ) y 2 2 + l - x 2    

e igualando à zero, pois queremos verificar a situação de mínimo da função:

x y 1 2 + x 2 = ( l - x ) y 2 2 + l - x 2

Olhando para a figura percebemos que essa igualdade nada mais é do que:

sen ⁡ θ 1 = sen ⁡ θ 2

E isso acontece quando temos

θ 1 = θ 2

Maravilha!

Resposta

a) t = y 1 2 + x 2 + y 2 2 + l - x 2 c

b) demonstração

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →